Question

請(qǐng)考生注意：重點(diǎn)高中學(xué)生做（2）（3）．一般高中學(xué)生只做（1）（2）．
已知函數(shù)
（1）若曲線y=f（x）在x=1和x=3處的切線互相平行，求a的值；
（2）當(dāng)a＞0時(shí)，討論f（x）的單調(diào)性；
（3）當(dāng)時(shí)，設(shè)g（x）=x²-bx+1，若對(duì)任意x₁∈（0，2]，都存在x₂∈（0，2]，都存在x₂∈[1，2]使f（x₁）≤g（x₂），求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵函數(shù)
∴f′（x）=
∵曲線y=f（x）在x=1和x=3處的切線互相平行，
∴f′（1）=f′（3），
∴
∴6-8a=0
∴a=；
（2）若a=1時(shí)，，∴x∈（0，1），f′（x）＞0，x∈（1，+∞），f′（x）＜0
∴y=f（x）在（0，1）上為增函數(shù)，在（1，+∞）上為減函數(shù)；
若a≠1時(shí)，令f′（x）=0，可得x₁=1，x₂=
①若，則a≥1，∴x∈（0，1），f′（x）＞0，x∈（1，+∞），f′（x）＜0
∴y=f（x）在（0，1）上為增函數(shù)，在（1，+∞）上為減函數(shù)；
②若0，即0＜a＜1時(shí)
（Ⅰ）0＜時(shí)，1，在（0，），（1，+∞）上為增函數(shù)，在（，1）上為減函數(shù)
（Ⅱ）時(shí)，在（0，1），（，+∞）上為增函數(shù)，在（1，）上為減函數(shù)
（Ⅲ）時(shí)，f′（x）＞0恒成立，則f（x）在（0，+∞）上恒為增函數(shù)．
（3）當(dāng)時(shí)，由（1）知，函數(shù)在 （0，1）是增函數(shù)，在（1，2）是減函數(shù)
∴f（x）在（0，2]的最大值為f（1）=-
若對(duì)任意x₁∈（0，2]，都存在x₂∈（0，2]，都存在x₂∈[1，2]使f（x₁）≤g（x₂），等價(jià)于函數(shù)f（x）在（0，2]的最大值-不大于g（x）在[1，2]的最大值
下面求g（x）=x²-bx+1在[1，2]上的最大值
∵g（x）=x²-bx+1的對(duì)稱軸是直線
①當(dāng)，即b≤3時(shí)，g（x）在[1，2]為增函數(shù)，則g（x）_max=g（2）=5-2b，
∴，∴b≤，滿足b≤3；
②當(dāng)，即b＞3時(shí)，g（x）在[1，2]為減函數(shù)，則g（x）_max=g（1）=2-b，
∴，∴b≤，∴3＜b≤，
綜上，實(shí)數(shù)b的取值范圍為b≤．
分析：（1）求導(dǎo)數(shù)，利用曲線y=f（x）在x=1和x=3處的切線互相平行，即可求得a的值；
（2）若a=1時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)可得y=f（x）在（0，1）上為增函數(shù)，在（1，+∞）上為減函數(shù)；
若a≠1時(shí)，令f′（x）=0，可得x₁=1，x₂=，結(jié)合函數(shù)的定義域分類討論，即可求得結(jié)論；
（3）當(dāng)時(shí)，f（x）在（0，2]的最大值為f（1）=-，若對(duì)任意x₁∈（0，2]，都存在x₂∈（0，2]，都存在x₂∈[1，2]使f（x₁）≤g（x₂），等價(jià)于函數(shù)f（x）在（0，2]的最大值-不大于g（x）在[1，2]的最大值，利用配方法確定函數(shù)g（x）=x²-bx+1在[1，2]上的最大值，即可得到實(shí)數(shù)b的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．