Question

已知數(shù)列{a_n}的各項均為正數(shù)，記A（n）=a₁+a₂+…+a_n，B（n）=a₂+a₃+…+a_n+1，C（n）=a₃+a₄+…+a_n+2，其中n∈N^*．
（1）若a₁=1，a₂=5，且對任意n∈N^*，三個數(shù)A（n），B（n），C（n）依次組成等差數(shù)列，求數(shù)列{a_n}的通項公式．
（2）a₁=1，對任意n∈N^*，三個數(shù)A（n），B（n），C（n）依次組成公比為q的等比數(shù)列．求數(shù)列{a_n}的前n項和A_n公式．

Answer 1

考點：數(shù)列的應(yīng)用

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用等差數(shù)列的定義，可得a_n+1-a₁=a_n+2-a₂，從而可得數(shù)列的公差，即可求數(shù)列{a_n}的通項公式．
（2）利用等比數(shù)列的定義，確定數(shù)列{a_n}是首項為a₁，公比為q的等比數(shù)列，即可求數(shù)列{a_n}的前n項和A_n公式．

解答： 解：（1）因為對任意n∈N^*，三個數(shù)A（n），B（n），C（n）是等差數(shù)列，
所以B（n）-A（n）=C（n）-B（n）．
所以a_n+1-a₁=a_n+2-a₂，即a_n+2-a_n+1=a₂-a₁=4． 
所以a_n=1+（n-1）×4=4n-3．          （5分）
（2）若對于任意n∈N^*，三個數(shù)A（n），B（n），C（n）組成公比為q的等比數(shù)列，
則B（n）=qA（n），C（n）=qB（n）．
所以C（n）-B（n）=q[B（n）-A（n）]，得a_n+2-a₂=q（a_n+1-a₁），
即a_n+2-qa_n+1=a₂-qa₁．
當(dāng)n=1時，由B（1）=qA（1），可得a₂=qa₁，
所以a_n+2-qa_n+1=0．因為a_n＞0，
所以

an+2

an+1

=

a2

a1

=q．--（9分）
即數(shù)列{a_n}是首項為a₁，公比為q的等比數(shù)列，則An=

n，q=1 1-qn 1-q ，q≠1

（12分）

點評：本題考查數(shù)列的應(yīng)用，考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義、通項與求和，屬于中檔題．