Question

如圖1-1-8，在四邊形ABCD中，BC＝m，DC=2m，四個(gè)內(nèi)角A、B、C、D之比為3∶7∶4∶10，試求四邊形ABCD的面積

                                                                   圖1-1-8

    

Answer 1

思路分析：四邊形的基本構(gòu)成元素是三角形，因而可把該問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求三角形面積，首先可根據(jù)四個(gè)內(nèi)角的度數(shù)之比求出四個(gè)內(nèi)角，結(jié)合余弦定理求得邊長(zhǎng)，利用三角形面積公式S=absinC求解.

     解：由題意知，設(shè)四個(gè)內(nèi)角A、B、C、D的大小依次為3x、7x、4x、10x，則3x+7x+4x+10x=360°.

     ∴x=15°，即A=45°，B=105°，C=60°，D=150°.

     在△BCD中，由余弦定理，得

     BD²=BC²+DC²-2BC·DC·cosC=m²+(2m)²-2×m×2m×cos60°=3m².

     ∴BD=3m.

     ∴S_△BCD= DC·BC·sinC=×m×2m× =m².

     在△BCD中，BD²+BC²=DC²，∴∠DBC=90°.∴∠BDC=30°.

     在△BAD中，由正弦定理，得

     AB= = =m.

     又∠ABD=105°-90°=15°，

     ∴S_△ABD= AB·BD·sin15°=×m×m× =m².

     ∴S_{四邊形ABCD}=S_△BCD+S_△ABD=m²+m²=m².