Question

16．設(shè)橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右頂點分別為A₁，A₂，與長軸垂直的直線與橢圓交于兩點M₁，M₂，求直線A₁M₁與A₂M₂交點P的軌跡方程．

Answer 1

分析 求出與橢圓交于兩點M₁，M₂，設(shè)A₁（-a，0），A₂（a，0），M₁（t，b$\sqrt{1-\frac{{t}^{2}}{{a}^{2}}}$），M₂（t，-b$\sqrt{1-\frac{{t}^{2}}{{a}^{2}}}$），求得直線A₁M₁與A₂M₂的方程，聯(lián)立消去t，即可得到所求P的軌跡方程．

解答 解：令與長軸垂直的直線x=t，代入橢圓方程可得y=±b$\sqrt{1-\frac{{t}^{2}}{{a}^{2}}}$），
設(shè)A₁（-a，0），A₂（a，0），M₁（t，b$\sqrt{1-\frac{{t}^{2}}{{a}^{2}}}$），M₂（t，-b$\sqrt{1-\frac{{t}^{2}}{{a}^{2}}}$），
直線A₁M₁與的方程為y=$\frac{b\sqrt{1-\frac{{t}^{2}}{{a}^{2}}}}{t+a}$（x+a），①
直線A₂M₂的方程為y=$\frac{-b\sqrt{1-\frac{{t}^{2}}{{a}^{2}}}}{t-a}$（x-a），②
聯(lián)立①②，解得x=$\frac{{a}^{2}}{t}$，即為t=$\frac{{a}^{2}}{x}$，代入①，
化簡可得P的軌跡方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1．

點評 本題考查橢圓的方程的運用，考查軌跡方程的求法，注意運用代入消元法，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．