Question

已知圓C：x²+y²-2y-4=0，直線l過(guò)定點(diǎn)P（1，1）．
（1）判斷直線l與圓C的位置關(guān)系；
（2）若直線l與圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B，且|AB|=3

2

，求直線l的方程；
（3）求直線l被圓C所截弦長(zhǎng)最短時(shí)l的方程及最短長(zhǎng)度．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系,圓的一般方程,直線與圓相交的性質(zhì)

專(zhuān)題：直線與圓

分析：（1）根據(jù)點(diǎn)P到圓心的距離為1，小于半徑，可得點(diǎn)P（1，1）在圓內(nèi)，故直線l與圓C相交．
（2）由條件根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，弦長(zhǎng)公式求得直線l的斜率，可得直線l的方程．
（3）直線l被圓C所截弦長(zhǎng)最短時(shí)，直線l和直線CP垂直，由此求得l的方程及最短弦長(zhǎng)．

解答： 解：（1）圓C：x²+y²-2y-4=0 即圓C：x²+（y-1）² =5，表示以C（0，1）為圓心、半徑等于

5

的圓．
由于直線l過(guò)定點(diǎn)P（1，1），且點(diǎn)P（1，1）到圓心的距離為1，小于半徑，
故點(diǎn)P（1，1）在圓內(nèi)，故直線l與圓C相交．
（2）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，方程為x=1，此時(shí)弦長(zhǎng)為4，不滿足條件，故直線l的斜率存在．
設(shè)直線l的方程為y-1=k（x-1），即kx-y+1-k=0，根據(jù)弦長(zhǎng)|AB|=3

2

，
可得弦心距d=

|0-1+1-k|

k2+1

=

5-( 3 2 2 )2

，求得k=±1，
故直線l的方程為x-y=0，或x+y-2=0．
（3）直線l被圓C所截弦長(zhǎng)最短時(shí)，直線l和直線CP垂直，由于CP的斜率為0，
故直線l的斜率不存在，故直線l的方程為x=1，把x=1代入圓的方程，求得y=3，或 y=-1，可得弦長(zhǎng)為4．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線和圓相交的性質(zhì)，點(diǎn)到直線的距離公式，弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．