Question

（2011•湖北模擬）設(shè)函數(shù)f（x）滿足：對(duì)任意x∈R，都有f（x+

π

2

）=-f（-x），且f（-x）=f（x），則f（x）可以是（　�。�

A．sin|x|

B．|cosx|

C．sin2x

D．cos2x

Answer 1

分析：由f（x+

π

2

）=-f（-x），且f（-x）=f（x）可得f（x+

π

2

）=-f（x），結(jié)合這三個(gè)條件，對(duì)選項(xiàng)逐項(xiàng)進(jìn)行檢驗(yàn)即可

解答：解：由f（x+

π

2

）=-f（-x），且f（-x）=f（x）可得f（x+

π

2

）=-f（x），
A：f（x+

π

2

）=sin|x+

π

2

|=

cosx，x≥- π 2 -c0sx，x＜- π 2

，-f（x）=-sin|x+

π

2

|=

-cosx，x≥- π 2 cosx，x＜- π 2

，不滿足條件
B：f（x+

π

2

）=|cos（x+

π

2

）|=|sinx|≠-f（x），不滿足條件
C：f（x+

π

2

）=sin（2x+π）=-sin2x≠-f（-x），不滿足條件
D：f（-x）=cos（-2x）=cos2x=f（x），f（x+

π

2

）=cos（2x+π）=-cos2x=-f（x），故D正確
故選：D

點(diǎn)評(píng)：本題主要考察了函數(shù)的奇偶性及函數(shù)的周期公式的應(yīng)用，要注意結(jié)合選項(xiàng)進(jìn)行判斷，屬于基礎(chǔ)試題