Question

（本小題滿分13分）

已知?jiǎng)訄A過(guò)點(diǎn)，且與圓相內(nèi)切.

（1）求動(dòng)圓的圓心的軌跡方程；

（2）設(shè)直線（其中與（1）中所求軌跡交于不同兩點(diǎn)，D，與雙曲線交于不同兩點(diǎn)，問(wèn)是否存在直線，使得向量，若存在，指出這樣的直線有多少條？若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）圓， 圓心的坐標(biāo)為，半徑.

∵，

∴點(diǎn)在圓內(nèi).                                                   

設(shè)動(dòng)圓的半徑為，圓心為，依題意得，且，

即.                                  …………（2分）                                        

∴圓心的軌跡是中心在原點(diǎn)，以兩點(diǎn)為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓,設(shè)其方程為

,  則.

∴.

∴所求動(dòng)圓的圓心的軌跡方程為.               …………（4分）                         

 (2)由 消去化簡(jiǎn)整理得：.

…………（6分）

設(shè)，，則.

△.  ①                  …………（7分）                          

由 消去化簡(jiǎn)整理得：.

…………（9分）

設(shè)，則,

△.  ②                …………（10分）                       

∵，

∴，即，

∴.

∴或.

解得或.                                                                     

當(dāng)時(shí),由①、②得  ，

∵Z,

∴的值為 ，，;

當(dāng)，由①、②得  ，

∵Z,

∴.

∴滿足條件的直線共有9條                                     …………（13分）