Question

19．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{7x-3}{2x+2}\\ x∈（\frac{1}{2}，1]}\\{-\frac{1}{3}x+\frac{1}{6}\\ x∈[0，\frac{1}{2}]}\end{array}\right.$，函數(shù)g（x）=asin（$\frac{π}{6}$x）-2a+2（a＞0），若存在x₁，x₂∈[0，1]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是[$\frac{1}{2}$，$\frac{4}{3}$]．

Answer 1

分析 分類討論求得f（x）的值域，再根據(jù)正弦函數(shù)的定義域和值域求得g（x）的值域，再根據(jù)這2個值域的交集非空，求得a的范圍．

解答 解：當(dāng)x∈（$\frac{1}{2}$，1]時(shí)，f（x）=$\frac{7（x+2）-10}{2x+2}$=$\frac{7}{2}$-$\frac{5}{x+1}$∈（$\frac{1}{6}$，1]．
當(dāng)x∈[0，$\frac{1}{2}$]時(shí)，f（x）=-$\frac{x}{3}$+$\frac{1}{6}$∈[0，$\frac{1}{6}$]，
故函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇0，1]．
∵sin（$\frac{π}{6}$x）的值域?yàn)閇-1，1]，故asin（$\frac{π}{6}$x）在[0，1]上的值域?yàn)閇0，$\frac{1}{2}$a]，
∴g（x）=asin（$\frac{π}{6}$x）-2a+2在[0，1]上的值域?yàn)閇2-2a，2-$\frac{3a}{2}$]．
由于存在x₁，x₂∈[0，1]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，∴[0，1]∩[2-2a，2-$\frac{3a}{2}$]≠∅．
當(dāng)[0，1]∩[2-2a，2-$\frac{3a}{2}$]=∅時(shí)，2-2a＞1，或2-$\frac{3a}{2}$＜0，
求得a＜$\frac{1}{2}$ 或a＞$\frac{4}{3}$，故要求的a的范圍為[$\frac{1}{2}$，$\frac{4}{3}$]．

點(diǎn)評 本題主要考查利用不等式的基本性質(zhì)求函數(shù)的值域，分段函數(shù)的應(yīng)用，余弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．