Question

13．已知函數(shù)f（x）=x+$\frac{a}{x}$+lnx，a∈R．
（Ⅰ）若f（x）在x=1處取得極值，求a的值；
（Ⅱ）若f（x）在區(qū)間（1，2）上單調(diào)遞增，求a的取值范圍；
（Ⅲ）討論函數(shù)g（x）=f'（x）-x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由題意可得f′（1）=0，即可解得a，注意檢驗(yàn)；
（Ⅱ）由條件可得，f′（x）≥0在區(qū)間（1，2）上恒成立，運(yùn)用參數(shù)分離，求得右邊函數(shù)的范圍，即可得到a的范圍；
（Ⅲ）令g（x）=0，則a=-x³+x²+x，令h（x）=-x³+x²+x，x＞0，求出導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間和最值，結(jié)合圖象對(duì)a討論，即可判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=x+$\frac{a}{x}$+lnx（x＞0），
f′（x）=1-$\frac{a}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$=$\frac{{x}^{2}+x-a}{{x}^{2}}$，
f（x）在x=1處取得極小值，
即有f′（1）=0，解得a=2，
經(jīng)檢驗(yàn)，a=2時(shí)，f（x）在x=1處取得極小值．
則有a=2；
（Ⅱ）f′（x）=1-$\frac{a}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$=$\frac{{x}^{2}+x-a}{{x}^{2}}$，x＞0，
f（x）在區(qū)間（1，2）上單調(diào)遞增，
即為f′（x）≥0在區(qū)間（1，2）上恒成立，
即a≤x²+x在區(qū)間（1，2）上恒成立，
由x²+x∈（2，6），
則a≤2；
（Ⅲ）g（x）=f′（x）-x=1-$\frac{a}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$-x，x＞0，
令g（x）=0，則a=-x³+x²+x，
令h（x）=-x³+x²+x，x＞0，
則h′（x）=-3x2+2x+1=-（3x+1）（x-1），
當(dāng)x∈（0，1），h′（x）＞0，h（x）在（0，1）遞增；
當(dāng)x∈（1，+∞），h′（x）＜0，h（x）在（1，+∞）遞減．
即有h（x）的最大值為h（1）=1，
則當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)g（x）無零點(diǎn)；
當(dāng)a=1或a≤0時(shí)，函數(shù)g（x）有一個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，函數(shù)g（x）有兩個(gè)零點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間和極值、最值，同時(shí)考查函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用和函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，運(yùn)用參數(shù)分離和分類討論的思想方法是解題的關(guān)鍵．