Question

【題目】已知函數(shù)，，其中，（）.

（1）若函數(shù)有極值，求的值；

（2）若函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，求的取值范圍；

（3）證明：.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）見(jiàn)解析

【解析】

試題分析：（1）先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，再對(duì)的取值范圍討論來(lái)判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，進(jìn)而可得函數(shù)在上的極值，利用函數(shù)有極值1，即可得的值；（2）由已知得：在上恒成立，進(jìn)而可得在上恒成立，設(shè)，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，再判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，進(jìn)而可得函數(shù)在上的取值范圍，即可得的取值范圍；（3）由（2）可得，進(jìn)而可得，代入，化簡(jiǎn)，即可證.

試題解析：（1）解：∵，

∴1分

①若，則對(duì)任意的都有，即函數(shù)在上單調(diào)遞減

函數(shù)在上無(wú)極值 2分

②若，由得

當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，

即函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增

∴函數(shù)在處有極小值

∴

∴4分

（2）解法1：∵函數(shù)=在區(qū)間上為減函數(shù)且當(dāng)時(shí)，

∴在上恒成立在上恒成立 5分

設(shè)，則7分

當(dāng)時(shí)，，

所以在上恒成立，即函數(shù)在上單調(diào)遞減 8分

∴當(dāng)時(shí)，

∴9分

[解法2：∵函數(shù)=在區(qū)間上為減函數(shù)

∴對(duì)，（）恒成立 5分

∵

∴

當(dāng)時(shí)，（）式顯然成立 6分

當(dāng)時(shí)，（）式 在上恒成立

設(shè)，易知在上單調(diào)遞增 7分

∴

∴ 8分

綜上得9分]

（3）證法1：由（2）知，當(dāng)時(shí)，

10分

∵對(duì)任意的有

∴

∴12分

∴

即14分

[證法2：先證明當(dāng)時(shí)，

令,則對(duì)任意的恒成立 10分

∴函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減

∴當(dāng)時(shí)，

11分

∵對(duì)任意的，

而12分

∴

14分]