Question

1．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x^3}，x≤a\\{x^2}，x＞a.\end{array}$若存在實數(shù)b，使函數(shù)g（x）=f（x）-b有兩個零點，則a的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，-1）∪（0，+∞）
• B． （-∞，0）∪（1，+∞）
• C． （-∞，0）
• D． （0，1）

Answer 1

分析 由g（x）=f（x）-b有兩個零點可得f（x）=b有兩個零點，即y=f（x）與y=b的圖象有兩個交點，則函數(shù)在定義域內(nèi)不能是單調(diào)函數(shù)，結(jié)合函數(shù)圖象可求a的范圍

解答 解：∵g（x）=f（x）-b有兩個零點，
∴f（x）=b有兩個零點，即y=f（x）與y=b的圖象有兩個交點，
由x³=x²可得，x=0或x=1
①當(dāng)a＞1時，函數(shù)f（x）的圖象如圖所示，此時存在b，滿足題意，故a＞1滿足題意

②當(dāng)a=1時，由于函數(shù)f（x）在定義域R上單調(diào)遞增，故不符合題意
③當(dāng)0＜a＜1時，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，故不符合題意

④a=0時，f（x）單調(diào)遞增，故不符合題意
⑤當(dāng)a＜0時，函數(shù)y=f（x）的圖象如圖所示，此時存在b使得，y=f（x）與y=b有兩個交點

綜上可得，a＜0或a＞1
則a的取值范圍是（-∞，0）∪（1，+∞），
故選：B．

點評 本題考察了函數(shù)的零點問題，滲透了轉(zhuǎn)化思想，數(shù)形結(jié)合、分類討論的數(shù)學(xué)思想．