Question

1．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x^3}，x≤a\\{x^2}，x＞a.\end{array}$若存在實(shí)數(shù)b，使函數(shù)g（x）=f（x）-b有兩個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，-1）∪（0，+∞）
• B． （-∞，0）∪（1，+∞）
• C． （-∞，0）
• D． （0，1）

Answer 1

分析 由g（x）=f（x）-b有兩個(gè)零點(diǎn)可得f（x）=b有兩個(gè)零點(diǎn)，即y=f（x）與y=b的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，則函數(shù)在定義域內(nèi)不能是單調(diào)函數(shù)，結(jié)合函數(shù)圖象可求a的范圍

解答 解：∵g（x）=f（x）-b有兩個(gè)零點(diǎn)，
∴f（x）=b有兩個(gè)零點(diǎn)，即y=f（x）與y=b的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，
由x³=x²可得，x=0或x=1
①當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)f（x）的圖象如圖所示，此時(shí)存在b，滿足題意，故a＞1滿足題意

②當(dāng)a=1時(shí)，由于函數(shù)f（x）在定義域R上單調(diào)遞增，故不符合題意
③當(dāng)0＜a＜1時(shí)，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，故不符合題意

④a=0時(shí)，f（x）單調(diào)遞增，故不符合題意
⑤當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)y=f（x）的圖象如圖所示，此時(shí)存在b使得，y=f（x）與y=b有兩個(gè)交點(diǎn)

綜上可得，a＜0或a＞1
則a的取值范圍是（-∞，0）∪（1，+∞），
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考察了函數(shù)的零點(diǎn)問題，滲透了轉(zhuǎn)化思想，數(shù)形結(jié)合、分類討論的數(shù)學(xué)思想．