Question

已知變量x、y滿足條件

x+y≤6 x-y≤2 x≥0 y≥0

，若目標(biāo)函數(shù)z=ax+y（其中a＞0）僅在（4，2）處取得最大值，若p=a+

1

a+4

則p的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：先畫出條件

x+y≤6 x-y≤2 x≥0 y≥0

對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，由目標(biāo)函數(shù)z=ax+y（其中a＞0）僅在（4，2）處取得最大值找到a＞1．再對(duì)所求p變形后用函數(shù)y=x+

1

x

在[1，+∞）上是增函數(shù)來求p的取值范圍即可．

解答：解：滿足約束條件

x+y≤6 x-y≤2 x≥0 y≥0

的平面區(qū)域如圖示．
因?yàn)槟繕?biāo)函數(shù)z=ax+y（其中a＞0）僅在（4，2）處取得最大值，
所以a＞1?a+4＞5．
又因?yàn)?span id="whjjqcw" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">p=a+

1

a+4

=a+4+

1

a+4

-4，
且y=x+

1

x

在[1，+∞）上是增函數(shù)，
所以p＞

6

5

．
故答案為 （

6

5

，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題屬于線性規(guī)劃中的延伸題，對(duì)于可行域不要求線性目標(biāo)函數(shù)的最值，而是求線性目標(biāo)函數(shù)在某一點(diǎn)處有最值時(shí)對(duì)應(yīng)參數(shù)的取值范圍．又考查了函數(shù)y=x+

1

x

單調(diào)性的應(yīng)用．