Question

已知

a

=（1，2sinx），

b

=（2cos（x+

π

6

），1），函數(shù)f（x）=

a

•

b

（x∈R）
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）若f（x）=

8

5

，求cos（2x-

π

3

）的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則，計(jì)算出

a

•

b

，然后利用兩角和的余弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡(jiǎn)，合并后，提取2，再利用兩角和的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，確定出f（x）的解析式，由正弦函數(shù)的遞減區(qū)間[

π

2

，

3π

2

]列出關(guān)于x的不等式，求出不等式的解集即可得到x的取值范圍，即為函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）由（1）中求出的f（x）的解析式，令f（x）=

8

5

，即可求出sin（x+

π

3

）的值，利用誘導(dǎo)公式求出cos（x-

π

6

）的值，然后利用二倍角的余弦函數(shù)公式把所求的式子化簡(jiǎn)，把求出的cos（x-

π

6

）的值代入即可求出值．

解答：解：（1）f（x）=

a

•

b

=2cos（x+

π

6

）+2sinx
=2cosxcos

π

6

-2sinxsin

π

6

+2sinx
=

3

cosx-sinx+2sinx
=

3

cosx+sinx=2（

3

2

cosx+

1

2

sinx）
=2sin（x+

π

3

）
由

π

2

+2kπ≤x+

π

3

≤

3π

2

+2kπ得：

π

6

+2kπ≤x≤

7π

6

+2kπ，
所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[

π

6

+2kπ，

7π

6

+2kπ]（k∈Z）；
（2）由（1）知f（x）=2sin（x+

π

3

），
又因?yàn)?sin（x+

π

3

）=

8

5

，所以sin（x+

π

3

）=

4

5

，
即sin（x+

π

3

）=cos（

π

6

-x）=cos（x-

π

6

）=

4

5

，
所以cos（2x-

π

3

）=2cos²（x-

π

6

）-1=

7

25

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則，正弦函數(shù)的單調(diào)性，以及三角函數(shù)的恒等變形．要求學(xué)生掌握兩角和與差的正弦、余弦函數(shù)公式，誘導(dǎo)公式及二倍角的余弦函數(shù)公式，熟練掌握這些公式是解本題的關(guān)鍵．