Question

設(shè)正數(shù)數(shù)列的前項和為，且對任意的，是和的等差中項．（1）求數(shù)列的通項公式；

    （2）在集合，，且中，是否存在正整數(shù)，使得不等式對一切滿足的正整數(shù)都成立？若存在，則這樣的正整數(shù)共有多少個？并求出滿足條件的最小正整數(shù)的值；若不存在，請說明理由；

    （3）請構(gòu)造一個與數(shù)列有關(guān)的數(shù)列，使得存在，并求出這個極限值．

Answer 1

（1）（） （2）共有個，的最小值為

（3）2

解析:

解：（1）由題意得，  ①， 

當(dāng)時，，解得，……（1分）

當(dāng)時，有  ②，

①式減去②式得，

于是，，，……（2分）

因為，所以，

所以數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，……（3分）

所以的通項公式為（）．……（4分）

（2）設(shè)存在滿足條件的正整數(shù)，則，，

，……（6分）

又，，…，，，，…，，

所以，，…，均滿足條件，

它們組成首項為，公差為的等差數(shù)列．……（8分）

設(shè)共有個滿足條件的正整數(shù)，則，解得．……（10分）

所以，中滿足條件的正整數(shù)存在，共有個，的最小值為．……（12分）

（3）設(shè)，即，……（15分），

則

，其極限存在，且

．……（18分）

注：（為非零常數(shù)），（為非零常數(shù)），

（為非零常數(shù)，）等都能使存在．

按學(xué)生給出的答案酌情給分，寫出數(shù)列正確通項公式的得3分，求出極限再得3分．