Question

20．己知等比數(shù)列{a_n}的第5項(xiàng)是二項(xiàng)式（$\frac{1}{9{x}^{2}}$+x-$\frac{2}{3\sqrt{x}}$）³展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)，則a₃a₇=$\frac{25}{9}$．

Answer 1

分析 首先求出二項(xiàng)展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)，然后利用等比數(shù)列的性質(zhì)求出其平方即可．

解答 解：二項(xiàng)式（$\frac{1}{9{x}^{2}}$+x-$\frac{2}{3\sqrt{x}}$）³=$（\frac{1}{3x}-\sqrt{x}）^{6}$，其通項(xiàng)T_r+1=${C}_{6}^{r}（\frac{1}{3x}）^{6-r}（-\sqrt{x}）^{r}$=$（-1）^{r}{C}_{6}^{r}\frac{1}{{3}^{6-r}}{x}^{\frac{3}{2}}r-6$，
所以當(dāng)$\frac{3}{2}r$-6=0時(shí)為常數(shù)項(xiàng)，即r=4時(shí)為常數(shù)項(xiàng)為$\frac{5}{3}$，所以等比數(shù)列{a_n}的第5項(xiàng)是$\frac{5}{3}$，
所以a₃a₇=${{a}_{5}}^{2}$=$\frac{25}{9}$；
故答案為：$\frac{25}{9}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)以及等比數(shù)列的性質(zhì)，關(guān)鍵是求出等比數(shù)列的第五項(xiàng)．