Question

已知奇函數(shù)f（x）=

a•2x+a-2

2x+1

，（x∈R）．
（1）試確定實(shí)數(shù)a的值，并證明f（x）為R上的增函數(shù)；
（2）記a_n=f[log₂（2ⁿ-1）]-1，S_n=a₁+a₂+…+a_n，求

lim

n→∞

Sn．
（3）若方程f（x）=a在（-∞，0）上有解，試證-1＜3f（a）＜0．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的極限,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,數(shù)列的求和,數(shù)列與不等式的綜合

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）∵函數(shù)f（x）是奇函數(shù)利用f（0）=0，解得a=1，可得f（x）=

2x-1

2x+1

，經(jīng)過驗(yàn)證函數(shù)f（x）是奇函數(shù)．f（x）變形為：f(x)=1-

2

2x+1

．利用增函數(shù)的定義即可證明．
（2）利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得：a_n=-

1

2n-1

．再利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式及其極限的運(yùn)算法則即可得出：S_n=2(1-

1

2n

)，

lim

n→∞

Sn．
（3）由f(x)=1-

2

2x+1

，可得f（x）即a∈（-1，0）．利用單調(diào)性可得f（-1）＜f（a）＜f（0），即可證明．

解答： （1）解：∵函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，
∴f（0）=0，
∴

2a-2

2

=0，解得a=1，
∴f（x）=

2x-1

2x+1

，經(jīng)過驗(yàn)證函數(shù)f（x）是奇函數(shù)．
f（x）變形為：f(x)=1-

2

2x+1

．
下面證明f（x）為R上的增函數(shù)．
?x₁＜x₂，則f（x₁）-f（x₂）=1-

2

2x1+1

-(1-

2

2x2+1

)=

2

2x2+1

-

2

2x1+1

=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

，
∵0＜2x1＜2x2，∴f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）為R上的增函數(shù)．
（2）解：a_n=f[log₂（2ⁿ-1）]-1=

2log2(2n-1)-1

2log2(2n-1)+1

-1=

2n-2

2n

-1=-

1

2n-1

．
∴S_n=a₁+a₂+…+a_n=-

1- 1 2n

1- 1 2

=-2(1-

1

2n

)，
∴

lim

n→∞

Sn=-2．
（3）證明：∵f(x)=1-

2

2x+1

，∴x→-∞時(shí)，f（x）→-1；x→0時(shí)，f（x）→0，∴a∈（-1，0）．
∴f（-1）＜f（a）＜f（0），又f（-1）=-

1

3

，f（0）=0．
∴-1＜3f（a）＜0．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式及其極限的運(yùn)算法則、函數(shù)的值域、方程的解，考查了分析問題與解決問題的能力，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．