Question

17．函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|lnx|+3，}&{x＞0}\\{-{x}^{2}-2x-2，}&{x≤0}\end{array}\right.$，若關(guān)于x的方程f²（x）+bf（x）+3b+1=0有4個不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是[-5，-$\frac{5}{3}$）．

Answer 1

分析 先將函數(shù)進(jìn)行換元，轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)問題．結(jié)合函數(shù)f（x）的圖象，從而確定b的取值范圍．

解答 解：令t=f（x），
則原函數(shù)等價(jià)為y=t²+bt+1+3b．
作出函數(shù)f（x）的圖象如圖
圖象可知當(dāng)t＞3，-2≤t＜-1時，
函數(shù)y=t和y=f（x）各有兩個交點(diǎn)．
要使方程f²（x）+bf（x）+3b+1=0有4個不同的實(shí)數(shù)根，
則方程t²+bt+1+3b=0有兩個根t₁，t₂，
且t₁＞3，-2≤t₂＜-1，
令g（t）=t²+bt+1+3b，則由根的分布可得，
$\left\{\begin{array}{l}{g（-2）≥0}\\{g（-1）＜0}\\{g（3）＜0}\end{array}\right.$即為$\left\{\begin{array}{l}{5+b≥0}\\{2+2b＜0}\\{10+6b＜0}\end{array}\right.$，即有$\left\{\begin{array}{l}{b≥-5}\\{b＜-1}\\{b＜-\frac{5}{3}}\end{array}\right.$，
可得-5≤b＜-$\frac{5}{3}$．
當(dāng)g（t）=0的兩根大于3時，可得$\left\{\begin{array}{l}{△=^{2}-12b-4＞0}\\{g（3）＞0}\\{-\frac{2}＞3}\end{array}\right.$，解得b∈∅；
當(dāng)g（t）=0的兩根介于[-2，-1）時，
可得$\left\{\begin{array}{l}{△=^{2}-12b-4＞0}\\{g（-1）＞0}\\{g（-2）≥0}\\{-2＜-\frac{2}＜-1}\end{array}\right.$，解得b∈∅．
故答案為：[-5，-$\frac{5}{3}$）．

點(diǎn)評 本題考查復(fù)合函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)問題，以及二次函數(shù)根的分布，換元是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．