如圖,已知橢圓+=1的左焦點為F,過點F的直線交橢圓于A,B兩點,線段AB的中點為G,AB的中垂線與x軸和y軸分別交于D,E兩點.

(1)若點G的橫坐標為-,求直線AB的斜率.

(2)記△GFD的面積為S1,△OED(O為原點)的面積為S2.試問:是否存在直線AB,使得S1=S2?說明理由.

【解析】(1)依題意,直線AB的斜率存在,

設(shè)其方程為y=k(x+1),

將其代入+=1,

整理得(4k2+3)x2+8k2x+4k2-12=0,

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),所以x1+x2=,

故點G的橫坐標為=.

依題意,得=-,解得k=±.

(2)假設(shè)存在直線AB,使得S1=S2,顯然直線AB不能與x,y軸垂直.

由(1)可得G,

因為DG⊥AB,所以×k=-1,

解得xD=,即D,

因為△GFD∽△OED,

所以S1=S2⇔|GD|=|OD|,

所以

=,

整理得8k2+9=0,因為此方程無解,

所以不存在直線AB,使得S1=S2.

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相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

素材1：如圖，已知橢圓 =1(2≤m≤5),過其左焦點且斜率為1的直線與橢圓及其準線的交點從左到右的順序為A、B、C、D;

素材2：設(shè)f(m)=||AB|-|CD||.

試根據(jù)上述素材構(gòu)建一個問題，然后再解答.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知橢圓=1(2≤m≤5),過其左焦點且斜率為1的直線與橢圓及其準線的交點從左到右的順序為A、B、C、D，設(shè)f(m)=||AB|－|CD||

(1)求f(m)的解析式；

(2)求f(m)的最值.

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科目：高中數(shù)學 來源：2014屆廣東省、陽東一中高二上聯(lián)考文數(shù)試卷（解析版） 題型：解答題

（本題滿分14分）

如圖，已知橢圓=1(a＞b＞0)，F1、F2分別為橢圓的左、右焦點，A為橢圓的上的頂點，直線AF2交橢圓于另 一點B.

(1)若∠F1AB=90°，求橢圓的離心率；

(2)若＝2，·＝，求橢圓的方程．

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2010-2011學年浙江省高三上學期11月月考理科數(shù)學卷 題型：解答題

（本小題滿分15分）

如圖，已知橢圓=1（2≤m≤5），過其左焦點且斜率為1的直線與橢圓及直線的交點從左到右的順序為A、B、C、D，設(shè)．

（Ⅰ）求的解析式；

（Ⅱ）求的最值．

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2010年河南省高二上學期12月份考試數(shù)學卷（文理） 題型：解答題

（12分）如圖，已知橢圓=1（a＞b＞0）過點（1，），離心率為，左、右焦點分別為F1、F2. 點P為直線l:x+y=2上且不在x軸上的任意一點，直線PF1和PF2與橢圓的交點分別為A、B和C、D，O為坐標原點.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）設(shè)直線PF1、PF2的斜率分別為k1、k2, 證明：=2；

 

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