Question

11．已知曲線C：$\left\{\begin{array}{l}{x=3\sqrt{3}cosθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），直線k：ρ（cosθ-$\sqrt{3}$sinθ）=12
（1）將直線l的極坐標(biāo)方程和曲線C的參數(shù)方程分別化為直角坐標(biāo)方程和普通方程；
（2）設(shè)點P在曲線C上，求點P到直線l的距離的最小值．

Answer 1

分析 （1）曲線C：$\left\{\begin{array}{l}{x=3\sqrt{3}cosθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），利用cos²θ+sin²θ=1即可化為普通方程．利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$即可把直線l：ρ（cosθ-$\sqrt{3}$sinθ）=12，化為直角坐標(biāo)方程．
（2）設(shè)P$（3\sqrt{3}cosθ，\sqrt{3}sinθ）$，則點P到直線l的距離d=$\frac{|3\sqrt{3}cosθ-3sinθ-12|}{2}$=$|3cos（θ+\frac{π}{6}）-6|$，利用三角函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：（1）曲線C：$\left\{\begin{array}{l}{x=3\sqrt{3}cosθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），化為普通方程：$\frac{{x}^{2}}{27}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
直線l：ρ（cosθ-$\sqrt{3}$sinθ）=12，化為直角坐標(biāo)方程：x-$\sqrt{3}$y-12=0．
（2）設(shè)P$（3\sqrt{3}cosθ，\sqrt{3}sinθ）$，則點P到直線l的距離d=$\frac{|3\sqrt{3}cosθ-3sinθ-12|}{2}$=$\frac{|6cos（θ+\frac{π}{6}）-12|}{2}$=$|3cos（θ+\frac{π}{6}）-6|$≥3．
當(dāng)$cos（θ+\frac{π}{6}）$=1時取等號．
∴點P到直線l的距離的最小值為3．

點評 本題考查了橢圓的參數(shù)方程、直線的參數(shù)方程、點到直線的距離公式、三角函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．