Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且．
（1）證明數(shù)列{a_n+3}為等比數(shù)列     
（2）求{S_n}的前n項和T_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用當(dāng)n≥2時，S_n-S_n-1=a_n，可得得a_n=2a_n-1+3，從而可構(gòu)造等比數(shù)列求解a_n+3，進(jìn)而可以判定{a_n+1}是等比數(shù)列；
（3）通過求出數(shù)列{a_n+3} 的通項公式得出數(shù)列{a_n}的通項公式，再求和即可．
解答：解：（1）令n=1，S₁=2a₁-3．∴a₁=3
由 S_n+1=2a_n+1-3（n+1），S_n=2a_n-3n，
兩式相減，得 a_n+1=2a_n+1-2a_n-3，
則  a_n+1=2a_n+3．…（4分）
a_n+1+3=2（a_n+3），
所以{a_n+3}為公比為2的等比數(shù)列…（7分）
（2）a_n+3=（a₁+3）•2^n-1=6•2^n-1，
∴a_n=6•2^n-1-3 …（10分）
．…（12分）
…（14分）
點評：本小題主要考查數(shù)列、數(shù)列求和等知識，考查化歸與轉(zhuǎn)化、分類與整合的數(shù)學(xué)思想方法，以及抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力和創(chuàng)新意識．