Question

如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長(zhǎng)為1，E、F、M、N分別是A₁B₁、BC、C₁D₁、B₁C₁的中點(diǎn)．
（Ⅰ）用向量方法求直線EF與MN的夾角；
（Ⅱ）求二面角N-EF-M的平面角的正切值．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,異面直線

專(zhuān)題：空間向量及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）建立空間直角坐標(biāo)系利用向量方法求直線EF與MN的夾角；
（Ⅱ）求出兩個(gè)平面的法向量，根據(jù)法向量之間的關(guān)系，即可求二面角N-EF-M的平面角的正切值．

解答： 解：（Ⅰ）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖：
設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，
則A（0，0，0），B（1，0，0），E（

1

2

，0，1），F(xiàn)（1，

1

2

，0），
M（

1

2

，1，1），N（1，

1

2

，1），
則

EF

=（

1

2

，

1

2

，-1），

MN

=（

1

2

，-

1

2

，0），
則

EF

•

EF

=（

1

2

，

1

2

，-1）•（

1

2

，-

1

2

，0）=

1

2

×

1

2

-

1

2

×

1

2

+0=0，
則

EF

⊥

EF

，
即直線EF與MN的夾角為90°；
（Ⅱ）∵直線EF與MN的夾角為90°，
∴EF⊥MN，
∵FN⊥MN，MN∩FN=N，
∴MN⊥平面ENF，
即向量

MN

=（

1

2

，-

1

2

，0）是平面ENF的法向量，
設(shè)平面EFM的法向量為

n

=（x，y，z），
則

EM

=（0，1，0），

EF

=（

1

2

，

1

2

，-1），
則

n • EM =y=0 n • EF = 1 2 x+ 1 2 y-z=0

，
即y=0，x=2z，設(shè)z=1，則x=2，即

n

=（2，0，1），
則cos＜

n

，

MN

＞=

n • MN

| n |•| MN |

=

1

5 • 1 2

=

2

5

，
則sin＜

n

，

MN

＞=

1-( 2 5 )2

=

1- 2 5

=

3 5

=

3

5

，
則tan＜

n

，

MN

＞=

3 5

2 5

=

3

2

=

6

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二面角的求解以及利用向量法求解異面直線的角的大小運(yùn)算量較大．