Question

已知O為A，B，C三點(diǎn)所在直線外一點(diǎn)，且

OA

=λ

OB

+μ

OC

．?dāng)?shù)列{a_n}，{b_n}滿足a₁=2，b₁=1，且

an=λan-1+μbn-1+1 bn=μan-1+λbn-1+1

（n≥2）．
（Ⅰ）求λ+μ；
（Ⅱ）令c_n=a_n+b_n，求數(shù)列{c_n}的通項(xiàng)公式；
（III）當(dāng)λ-μ=

1

2

時(shí)，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析：（I）首先由A，B，C三點(diǎn)共線，可設(shè)

AB

=m

BC

，則

AB

=

OB

-

OA

=m

BC

=m(

OC

-

OB

)，經(jīng)化簡得

OA

=(m+1)

OB

-m

OC

，即可知λ=m+1，μ=-m，進(jìn)而得λ+μ=1
（II）首先根據(jù)已知及λ+μ=1可求出a_n+b_n=（λ+μ）（a_n-1+b_n-1）+2=a_n-1+b_n-1+2，（n≥2），則c_n=c_n-1+2（n≥2），即可求得數(shù)列{c_n}的通項(xiàng)公式為c_n=2n+1．
（III）首先由已知條件知要想求出a_n，得先求出an-bn=(λ-μ)(an-1-bn-1)=

1

2

(an-1-bn-1)，(n≥2)，再設(shè)令d_n=a_n-b_n，則dn=

1

2

dn-1(n≥2)，即可求出{d_n}是首項(xiàng)為a₁-b₁=1，公比為

1

2

的等比數(shù)列，則通項(xiàng)公式為dn=

1

2n-1

，由方程組

an+bn=2n+1 an-bn= 1 2n-1

，進(jìn)而可求出an=

1

2n

+n+

1

2

．

解答：解：（I）A，B，C三點(diǎn)共線，設(shè)

AB

=m

BC

，
則

AB

=

OB

-

OA

=m

BC

=m(

OC

-

OB

)，（2分）
化簡得：

OA

=(m+1)

OB

-m

OC

，所以λ=m+1，μ=-m，
所以λ+μ=1．（4分）
（II）由題設(shè)得
a_n+b_n=（λ+μ）（a_n-1+b_n-1）+2=a_n-1+b_n-1+2，（n≥2）（6分）
即c_n=c_n-1+2（n≥2），∴{c_n}是首項(xiàng)為a₁+b₁=3，
公差為2的等差數(shù)列，通項(xiàng)公式為c_n=2n+1（18分）
（III）由題設(shè)得
an-bn=(λ-μ)(an-1-bn-1)=

1

2

(an-1-bn-1)，(n≥2)，（10分）
令d_n=a_n-b_n，則dn=

1

2

dn-1(n≥2)．
所以{d_n}是首項(xiàng)為a₁-b₁=1，公比為

1

2

的等比數(shù)列，
通項(xiàng)公式為dn=

1

2n-1

．（12分）
由

an+bn=2n+1 an-bn= 1 2n-1

解得an=

1

2n

+n+

1

2

．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要利用三點(diǎn)共線的性質(zhì)、數(shù)列的推導(dǎo)方法及數(shù)列的疊加進(jìn)行相關(guān)的運(yùn)算．