Question

【題目】已知函數(shù) ，a∈R．
（Ⅰ）當a∈[1，e2]時，討論函數(shù)f（x）的零點的個數(shù)；
（Ⅱ）令g（x）=tx2﹣4x+1，t∈[﹣2，2]，當a∈[1，e]時，證明：對任意的 ，存在x2∈[0，1]，使得f（x1）=g（x2）．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）f（x）的定義域是（0，+∞），f′（x）= ， 令f′（x）=0，解得：x= 或x=﹣ （舍），
x∈（0， ）時，f′（x）＞0，f（x）遞增，
x∈（ ，+∞）時，f′（x）＜0，f（x）遞減，
故f（x）max=f（ ）= a（lna﹣1），
令h（a）= a（lna﹣1），a∈[1，e2]，則h′（a）= lna≥0，
故函數(shù)h（a）在[1，e2]遞增，
故h（1）≤h（a）≤h（e2），即﹣ ≤h（a）≤ e2 ，
令h（a）=0，則a=e，
a∈[1，e）時，h（a）＜0，即f（x）max＜0，此時f（x）無零點，
a=e時，h（a）=0，即f（x）max=0，f（x）有1個零點，
a∈（e，e2]時，h（a）＞0，即f（x）max＞0，
由函數(shù)f（x）的定義域可知x→0時，lnx→﹣∞，
x2→0，故f（x）→﹣∞，x→+∞時，f（x）→﹣∞，
故此時f（x）有2個零點，
綜上，a∈[1，e）時，函數(shù)f（x）無零點，a=e時，函數(shù)f（x）有唯一零點，
a∈（e，e2]時，函數(shù)f（x）有2個零點；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：a∈[1，e]時，f（x）max=f（ ）≤0，又f（1）=﹣ ，
f（ ）= （a﹣e）∈[ （1﹣e），0]，
當 （a﹣e）≥﹣ 時，函數(shù)f（x）=alnx﹣ x2 ， （x∈[1， ）的值域是：
[﹣ ， a（lna﹣1）][﹣ ，0]，
當 （a﹣e）＜﹣ 時，函數(shù)f（x）=alnx﹣ x2（x∈[1， ]的值域是：
[ （a﹣e）， a（lna﹣1）][ （1﹣e）， a（lna﹣1）][﹣1，0]，
由上可知，對于任意的x1∈[1， ]，f（x1）∈[﹣1，0]，
對于函數(shù)g（x），g（x）=tx2﹣4x+1=t +1﹣ ，x∈[0，1]，
當﹣2≤t＜0時， ＜0，g（x）在區(qū)間[0，1]遞減，
當t=0時，g（x）=﹣4x+1，g（x）在區(qū)間[0，1]遞減，
0＜t≤2時， ≥1，g（x）在區(qū)間[0，1]遞減，
故t∈[﹣2，2]時，g（x）min=g（1）=t﹣3∈[﹣5，﹣1]，g（x）max=g（0）=1，
故x2∈[0，1]時，g（x2）∈[﹣1，0][t﹣3，1]，
故對任意的 ，存在x2∈[0，1]，使得f（x1）=g（x2）
【解析】（Ⅰ）求出函數(shù)的導數(shù)，解關(guān)于導函數(shù)的方程，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的最大值，通過討論a的范圍，判斷函數(shù)的零點個數(shù)即可；（Ⅱ）通過討論a的范圍，求出函數(shù)f（x）的值域，通過討論t的范圍，求出g（x）的最值，結(jié)合集合的包含關(guān)系證明結(jié)論即可．
【考點精析】關(guān)于本題考查的利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值與導數(shù)，需要了解一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的正負有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值才能得出正確答案．