Question

設曲線y=（ax-1）•e^x在點A（x₀，y₁）處的切線為l₁，曲線y=（1-x）•e^-x在點A（x₀，y₂）處的切線為l₂，若存在x₀∈[0，

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2

]，使得l₁⊥l₂，則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A、（-∞，1]
• B、[

  3

  2

  ，+∞）
• C、（1，

  3

  2

  ）
• D、[1，

  3

  2

  ]

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：綜合題,導數(shù)的概念及應用

分析：根據(jù)曲線方程分別求出導函數(shù)，把A和B的橫坐標x₀分別代入到相應的導函數(shù)中求出切線l₁和切線為l₂的斜率，然后根據(jù)兩條切線互相垂直得到斜率乘積為-1，列出關(guān)于等式由存在x₀∈[0，

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2

]，得到x₀²-x₀-2≠0，從而a=

x0-3

x02-x0-2

，然后根據(jù)

x0-3

x02-x0-2

在（0，1）是減函數(shù)，在（1，

3

2

）上是增函數(shù)，求出其值域即可得到a的取值范圍．

解答： 解：函數(shù)y=（ax-1）e^x的導數(shù)為y′=（ax+a-1）e^x，
∴l(xiāng)₁的斜率為k1=(ax0+a-1)ex0，
函數(shù)y=（1-x）e^-x的導數(shù)為y′=（x-2）e^-x
∴l(xiāng)₂的斜率為k2=(x0-2)e-x0，
由題設有k₁•k₂=-1從而有(ax0+a-1)ex0•(x0-2)e-x0=-1
∴a（x₀²-x₀-2）=x₀-3
∵存在x₀∈[0，

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2

]，得到x₀²-x₀-2≠0，
∴a=

x0-3

x02-x0-2

，
又a′=

-(x0-1)(x0-5)

(x02-x0-2)2

，
令導數(shù)大于0得1＜x₀＜5，
故a=

x0-3

x02-x0-2

在（0，1）是減函數(shù)，在（1，

3

2

）上是增函數(shù)，
x₀=0時取得最大值為

0-3

0-0-2

=

3

2

；
x₀=1時取得最小值為1．
∴1≤a≤

3

2

故選：D．

點評：本題考查學生會利用導數(shù)求切線的斜率，會求函數(shù)的值域，掌握兩直線垂直時斜率的關(guān)系，此題是一道綜合題．