Question

如圖，四面體ABCD，O、E分別是BD、BC的中點(diǎn)，CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=，
（1）求證：AO⊥BC；
（2）求二面角B-AC-D的余弦值．

Answer 1

（1）證明：∵AB=AD=，O是BD的中點(diǎn)
∴AO⊥BD
又∵BD=2
∴AD=1
∵CB=CD=2
∴OC=
∵AO²+OC²=4=AC²
∴∠AOC=90°
∴AO⊥OC
又∵BD∩OC=O
∴AO⊥面BCD
∴AO⊥BC
（2）解：分別以O(shè)B、OC、OA為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系
則 B（1，0，0）、C（0，，0）、A（0，0，1）、D（-1，0，0）=（0，，-1）（-1，，0）=（1，，0）
設(shè)面ABC面ACD的法向量分別為=（1，y₁，z₁），=（1，y₂，z₂）
∴?=（1，-，1）?=（1，-，-1）
∴cos＜，＞==
∴二面角B-AC-D的余弦值為
分析：（1）要證線線垂直可通過(guò)線面垂直得到線線垂直故可根據(jù)條件得到AO⊥BD以及求出AO，OC的值然后可得出AO²+OC²=AC²即AO⊥OC則根據(jù)線面垂直的判定定理可得AO⊥面BCD后即可得證．
（2）可利用空間向量法作：由（1）得AO，BO，CO兩兩互相垂直故可以O(shè)B、OC、OA為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系然后求出面ABC面ACD的法向量，再利用向量的夾角公式cos＜，＞=即可得解．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考察了線線垂直的證明和二面角的求解，屬�？碱}型，較難．解題的關(guān)鍵是要掌握線線垂直常通過(guò)線面垂直得出而對(duì)于二面角的求解可采用向量法求解但計(jì)算一定要準(zhǔn)確無(wú)誤！