Question

已知向量

OA

=(2， 0)，  

OC

=

AB

=(0，  1)，動點M（x，y）到直線y=1的距離等于d，并且滿足

OM

 • 

AM

=k(

CM

 • 

BM

-d2)（其中O是坐標原點，k∈R）．
（1）求動點M的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線；
（2）當k=

1

2

時，求|

OM

+2

AM

|的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先設(shè)出M的坐標并求出A（2，0），B（2，1），C（0，1），把各點的坐標以及動點M到定直線y=1的距離等于d代入

OM

•

AM

=k(

CM

•

BM

-d2)，整理即可求出動點M的軌跡方程為（1-k）（x²-2x）+y²=0，再分情況得出曲線類型；
（2）先利用（1）的結(jié)論得出：0≤x≤2，y²=

1

2

-

1

2

(x-1)2，再把 |

OM

+2

AM

|整理為

9

2

(x-

5

3

)2+

7

2

，利用二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值求即可求出 |

OM

+2

AM

|的最大值和最小值，從而得到|

OM

+2

AM

|的取值范圍．

解答：解：（1）∵O為原點，且

OA

=(2，  0)，  

OC

=

AB

=(0，  1)
∴A（2，0），B（2，1），C（0，1）（1分）
∴

OM

=(x，y)，  

AM

=(x-2，y)，  

BM

=(x-2，y-1)，

CM

=(x，y-1)，d= |y-1|（2分）
又

OM

 • 

AM

=k(

CM

 • 

BM

-d2)
∴x（x-2）+y²=k[x（x-2）+（y-1）²-（y-1）²]⇒x²-2x+y²=k（x²-2x）⇒（1-k）x²+2（k-1）x+y²=0（5分）
1）當k=1時，y=0，動點軌跡是一條直線；
2）當k≠1時，(x-1)2+

y2

1-k

=14）
①若1-k=1⇒k=0時，（x-1）²+y²=1動點軌跡是一個圓；
②若

1-k＞0 1-k≠0

⇒k＜1 且 k≠0時，動點軌跡是橢圓；
③若1-k＜0⇒k＞1時，動點軌跡是雙曲線．（9分）
（2）當k=

1

2

時，M軌跡方程為（x-1）²+2y²=1
∴y2=

1

2

-

1

2

(x-1)2（10分）
∴t= |

OM

+2

AM

| = |(x，y)+2(x-2，y)| = |(3x-4，  3y)|=

(3x-4)2+9y2

=

(3x-4)2+9 [ 1 2 - 1 2 (x-1)2]

=

9 2 (x- 5 3 )2+ 7 2

（12分）
又（x-1）²+2y²=1⇒（x-1）²≤1⇒0≤x≤2
∴當 x=

5

3

時，tmin=

7 2

=

14

2

當 x=0時，t_max=4
∴|

OM

+2

AM

|的取值范圍是[

14

2

，4]．（14分）

點評：本題以向量為載體，綜合考查了軌跡方程的求法以及向量與圓錐曲線的綜合問題和分類討論思想的應(yīng)用，是對知識的綜合考查，屬于難題．