Question

設(shè)函數(shù)f（x）滿足f（x+y）=f（x）+f（y）+xy（x+y），又f'（0）=1，則函數(shù)f（x）的解析式為    ．

Answer 1

【答案】分析：可令y=1可得f（x+1）-f（x）=f（1）+x²+x然后分別賦予x為1，2，3…，（x-1）將這（x-1）個(gè)式子相加再結(jié)合1²+2²+…+（x-1）²=可得f（x）=xf（1）+下面只需求出f（1）即可求解而f'（0）=1，兩邊求導(dǎo)即可求出f（1）=再代入即可求出f（x）．
解答：解：∵f（x+y）=f（x）+f（y）+xy（x+y）
∴令y=1則f（x+1）-f（x）=f（1）+x²+x
∴f（2）-f（1）=f（1）+1²+1
f（3）-f（2）=f（1）+2²+2
…
f（x）-f（x-1）=f（1）+（x-1）²+（x-1）
∴將上面（x-1）個(gè)式子相加可得f（x）-f（1）=（x-1）f（1）+[1²+2²+…+（x-1）²]+（1+2+3+…+（x-1））
∴f（x）=xf（1）++=xf（1）+
∴f^′（x）=f（1）+
∵f'（0）=1
∴f（1）-=1
∴f（1）=
∴f（x）=+=
故答案為f（x）=
點(diǎn)評：本題主要考查了函數(shù)解析式的求解，由于用到了利用遞推公式和疊加法以及1²+2²+…+（x-1）²=①再加上導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，綜合性較強(qiáng)難度較大．解題的關(guān)鍵是利用y=1得出f（x+1）-f（x）=f（1）+x²+x再利用疊加法結(jié)合公式①得出f（x）=xf（1）+！