Question

如圖，長為m＋1（m＞0）的線段AB的兩個端點A和B分別在x軸和y軸上滑動，點M是線段AB上一點，且＝m．

（1）求點M的軌跡Γ的方程，并判斷軌跡Γ為何種圓錐曲線；

（2）設過點Q(，0)且斜率不為0的直線交軌跡Γ于C、D兩點．

試問在x軸上是否存在定點P，使PQ平分∠CPD？若存在，求點P的坐標；

若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）設A、B、M的坐標分別為(x₀，0)、(0，y₀)、(x，y)，則

x＋y＝(m＋1)²，                            ①

由＝m，得(x－x₀，y)＝m(－x，y₀－y)，

∴∴         ②

將②代入①，得

(m＋1)²x²＋()²y²＝(m＋1)²，

化簡即得點M的軌跡Γ的方程為x²＋＝1（m＞0）．

當0＜m＜1時，軌跡Γ是焦點在x軸上的橢圓；

當m＝1時，軌跡Γ是以原點為圓心，半徑為1的圓；

當m＞1時，軌跡Γ是焦點在y軸上的橢圓．

（2）依題意，設直線CD的方程為x＝ty＋，

由消去x并化簡整理，得(m²t²＋1)y²＋m²ty－m²＝0，

△＝m⁴t²＋3m²(m²t²＋1)＞0，

設C(x₁，y₁)，D(x₂，y₂)，則

y₁＋y₂＝－，y₁y₂＝－．         ③

假設在x軸上存在定點P(a，0)，使PQ平分∠CPD，

則直線PC、PD的傾斜角互補，

∴k_PC＋k_PD＝0，即＋＝0，

∵x₁＝ty₁＋，x₂＝ty₂＋，∴＋＝0，

化簡，得4ty₁y₂＋(1－2a)( y₁＋y₂)＝0．           ④

將③代入④，得－－＝0，即－2m²t(2－a)＝0，

∵m＞0，∴t(2－a)＝0，∵上式對∀t∈R都成立，∴a＝2．

故在x軸上存在定點P(2，0)，使PQ平分∠CPD．