Question

已知下列是兩個(gè)等式：①sin60°sin30°=sin²45°-sin²15°；②sin5°sin1°=sin²3°-sin²2°．
（1）請(qǐng)你寫出一個(gè)一般的三角的等式，使上述兩個(gè)等式是它的特例；
（2）請(qǐng)證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,歸納推理

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）根據(jù)以上兩式總結(jié)一般的三角等式為：sinα•sinβ=sin2

α+β

2

-sin2

α-β

2

（2）依據(jù)三角變換中的降冪，半角化倍角恒等變換，從等式的右邊出發(fā)向左邊進(jìn)行證明從而得到結(jié)論．

解答： （1）根據(jù)以上兩式總結(jié)一般的三角等式為：sinα•sinβ=sin2

α+β

2

-sin2

α-β

2

（2）證明：
sin2

α+β

2

=

1-cos(α+β)

2

，
sin2

α-β

2

=

1-cos(α-β)

2

cos（α+β）=cosα•cosβ-sinα•sinβ 
cos（α-β）=cosαcosβ+sinα•sinβ 
右邊=sin2

α+β

2

-sin2

α-β

2

=

1-cos(α+β)

2

-

1-cos(α-β)

2

=

cos(α-β)-cos(α+β)

2

=sinα•sinβ

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)利用三角變換中的降冪，半角化倍角恒等變換，通過復(fù)雜一方向簡單一方進(jìn)行證明．