Question

對定義在實數(shù)集R上的函數(shù)f₁（x），f₂（x），令F（x）=f₁（x）+f₂（x），已知對任意不同的實數(shù)x₁，x₂，|f₁（x₁）-f₁（x₂）|＞|f₂（x₁）-f₂（x₂）|．
（1）若y=f₁（x）是區(qū)間D上的增函數(shù)，能否確定y=F（x）是區(qū)間D上的增函數(shù)？若能夠確定，說明理由；若不能，請舉例說明；
（2）若y=f₂（x）是區(qū)間D上的增函數(shù)，能否確定y=F（x）是區(qū)間D上的增函數(shù)？若能夠確定，說明理由；若不能，請舉例說明；
（3）求函數(shù)f(x)=x2+

1

4x

(x＞0)的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）設(shè)x₁＜x₂由y=f₁（x）是區(qū)間D上的增函數(shù)可得f₁（x₁）＜f₁（x₂），①若f₂（x）為單調(diào)遞增或常函數(shù)，則y=F（x）是區(qū)間D上的增函數(shù)；②若函數(shù)f₂（x₁）＞f₂（x₂），則由|f₁（x₁）-f₁（x₂）|＞|f₂（x₁）-f₂（x₂）|可得，-f₁（x₁）+f₁（x₂）|＞f₂（x₁）-f₂（x₂），從而可判斷
（2）例如函數(shù)f₁（x）=-3^x，f₂（x）=2^x，則F（x）=2^x-3^x不是單調(diào)遞增函數(shù)
（3）對函數(shù)求導(dǎo)可得f′(x)=2x-

1

4x2

=

8x3-1

4x2

結(jié)合x＞0，分別求f′（x）≥0，f′（x）＜0的x的范圍，從而可求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

解答：解：（1）設(shè)x₁＜x₂由y=f₁（x）是區(qū)間D上的增函數(shù)可得f₁（x₁）＜f₁（x₂）
①若f₂（x）為單調(diào)遞增或常函數(shù)，則y=F（x）是區(qū)間D上的增函數(shù)
②若函數(shù)f₂（x₁）＞f₂（x₂），則由|f₁（x₁）-f₁（x₂）|＞|f₂（x₁）-f₂（x₂）|可得，-f₁（x₁）+f₁（x₂）|＞f₂（x₁）-f₂（x₂）
∴f₁（x₁）+f₂（x₁）＜f₁（x₂）+f₂（x₂）即F（x₁）＜F（x₂）
綜上可得函數(shù)F（X）為單調(diào)遞增的函數(shù)
（2）例如函數(shù)f₁（x）=-3^x，f₂（x）=2^x，則F（x）=2^x-3^x不是單調(diào)遞增函數(shù)
（3）f′(x)=2x-

1

4x2

=

8x3-1

4x2

∵x＞0由f′（x）≥0可得x≥

1

2

，f′（x）＜0可得0＜x＜

1

2

函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間是[

1

2

，+∞），單調(diào)減區(qū)間是（0，

1

2

）

點評：本題主要考查了利用函數(shù)的單調(diào)性的定義判斷函數(shù)的單調(diào)性及利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，解題的關(guān)鍵是要靈活利用函數(shù)單調(diào)性的知識．