Question

如圖所示，將一矩形花壇ABCD擴(kuò)建成一個(gè)更大的矩形花壇AMPN，要求M在AB的延長(zhǎng)線上，N在AD的延長(zhǎng)線上，且對(duì)角線MN過C點(diǎn)．已知AB=3米，AD=2米．
（I）設(shè)AN=x（單位：米），要使花壇AMPN的面積大于32平方米，求x的取值范圍；
（Ⅱ）若x∈[3，4）（單位：米），則當(dāng)AM，AN的長(zhǎng)度分別是多少時(shí)，花壇AMPN的面積最大？并求出最大面積．

Answer 1

【答案】分析：先由相似性表示AM，建立四邊形AMPN的面積模型，（I）解關(guān)于x的不等式；
（II）先對(duì)面積函數(shù)模型求導(dǎo)，用導(dǎo)數(shù)法求最值．
解答：解：由于，則AM=
故S_AMPN=AN•AM=（4分）
（1）由S_AMPN＞32得＞32，
因?yàn)閤＞2，所以3x²-32x+64＞0，即（3x-8）（x-8）＞0
從而
即AN長(zhǎng)的取值范圍是（8分）
（2）令y=，則y′=（10分）
因?yàn)楫?dāng)x∈[3，4）時(shí)，y′＜0，所以函數(shù)y=在[3，4）上為單調(diào)遞減函數(shù)，
從而當(dāng)x=3時(shí)y=取得最大值，即花壇AMPN的面積最大27平方米，
此時(shí)AN=3米，AM=9米
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查用相似性構(gòu)建邊的關(guān)系，建立平面圖形面積函數(shù)模型及導(dǎo)數(shù)法解模求最值的能力．