Question

1．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{45}$+$\frac{{y}^{2}}{20}$=1的兩個(gè)焦點(diǎn)為F₁、F₂，P為橢圓上一點(diǎn)，若△PF₁F₂為直角△，求△PF₁F₂的面積．

Answer 1

分析 根據(jù)橢圓的定義和勾股定理建立關(guān)于m、n的方程組，平方相減即可求出|PF₁|•|PF₂|=40，結(jié)合直角三角形的面積公式，可得△PF₁F₂的面積S=$\frac{1}{2}$|PF₁|•|PF₂|，得到本題答案．

解答 解：∵橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{45}$+$\frac{{y}^{2}}{20}$=1，
∴a²=45，b²=20，可得c²=a²-b²=25，即a=3$\sqrt{5}$，c=5．
設(shè)|PF₁|=m，|PF₂|=n，
∵PF₁⊥PF₂，得∠F₁PF₂=90°
則有$\left\{\begin{array}{l}{m+n=6\sqrt{5}}\\{{m}^{2}+{n}^{2}=100}\end{array}\right.$，
∵（m+n）²=m²+n²+2mn，
則180=100+2mn
得mn=40，
∴|PF₁|•|PF₂|=40．
∴△PF₁F₂的面積S=$\frac{1}{2}$|PF₁|•|PF₂|=$\frac{1}{2}$×40=20．

點(diǎn)評(píng) 本題給出橢圓的焦點(diǎn)三角形為直角三角形，求它的面積，著重考查了勾股定理、橢圓的定義和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)等知識(shí)．