Question

已知函數(shù)x,y滿(mǎn)足x≥1,y≥1 log_a²x+log_a²y=log_a(ax²)+log_a(ay²)(a>0且a≠1),求log_a(xy)的取值范圍.

Answer 1

當(dāng)a>1時(shí)，log_axy的最大值為2+2，最小值為1+；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，log_axy的最大值為1－，最小值為2－2.

由已知等式得 log_a²x+log_a²y=(1+2log_ax)+(1+2log_ay),
即(log_ax－1)²+(log_ay－1)²="4,       "
令u=log_ax,v=log_ay,k=log_axy,則(u－1)²+(v－1)²=4(uv≥0),k=u+v.
在直角坐標(biāo)系uOv內(nèi)，
圓弧(u－1)²+(v－1)²=4(uv≥0)與平行直線(xiàn)系v=－u+k有公共點(diǎn)，
分兩類(lèi)討論:
(1)當(dāng)u≥0,v≥0時(shí)，即a>1時(shí)，結(jié)合判別式法與代點(diǎn)法得
1+≤k≤2(1+);
(2)當(dāng)u≤0,v≤0,即0＜a＜1時(shí)，同理得到2(1－)≤k≤1－. 
綜上，當(dāng)a>1時(shí)，log_axy的最大值為2+2，最小值為1+；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，log_axy的最大值為1－，最小值為2－2.