Question

已知向量

a

=(

3

sinx，cosx)，

b

=(cosx，sinx)，f(x)=2

a

•

b

-1
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間及其圖象的對稱軸方程；
（2）當(dāng)x∈[0，π]時，若f（x）=-1，求x的值．

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）利用向量的數(shù)量積定義表示出函數(shù)再利用三角函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間及其圖象的對稱軸方程公式求得．
（2）據(jù)已知列出三角方程，注意解三角方程必須先求出角的范圍再求出特殊角．

解答： 解：（1）f（x）=2

a

•

b

-1=2

3

sinxcosx+2cosxsinx-1=（

3

+1）sin2x-1．
∴由

π

2

+2kπ≤2x≤

3π

2

+2kπ得

π

4

+kπ≤x≤

3π

4

+kπ，k∈Z．
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為[

π

4

+kπ，

3π

4

+kπ]，k∈Z．
由2x=

π

2

+kπ得，x=

π

4

+

kπ

2

，k∈Z．
∴函數(shù)f（x）的對稱軸方程x=

π

4

+

kπ

2

，k∈Z．
（2）由f（x）=-1，得（

3

+1）sin2x-1=-1．
∴sin2x=0
∵x∈[0，π]，
∴2x=0或2x=π，即x=0或x=

π

2

．

點評：本題考查向量的數(shù)量積公式及三角函數(shù)的周期公式，解三角方程時注意一定要求出角的范圍．