Question

已知有窮數(shù)列A：a₁，a₂，…，a_n，(n≥2)，若數(shù)列A中各項(xiàng)都是集合{x|-1＜x＜1}的元素，則稱該數(shù)列為Γ數(shù)列。對(duì)于Γ數(shù)列A，定義如下操作過程T：從A中任取兩項(xiàng)a_i，a_j，將的值添在A的最后，然后刪除a_i，a_j，這樣得到一個(gè)n-1項(xiàng)的新數(shù)列A₁(約定：一個(gè)數(shù)也視作數(shù)列)。若A₁還是Γ數(shù)列，可繼續(xù)實(shí)施操作過程T，得到的新數(shù)列記作A₂，…，如此經(jīng)過k次操作后得到的新數(shù)列記作A_k，
（Ⅰ）設(shè)A：0，，請寫出A₁的所有可能的結(jié)果；
（Ⅱ）求證：對(duì)于一個(gè)n項(xiàng)的Γ數(shù)列A操作T總可以進(jìn)行n-1次；
（Ⅲ）設(shè)A：，求A₉的可能結(jié)果，并說明理由.

Answer 1

解：（Ⅰ）A₁有如下的三種可能結(jié)果：A₁：；A₁：；A₁：。
（Ⅱ），
有且，
所以，即每次操作后新數(shù)列仍是Γ數(shù)列，
又由于每次操作中都是增加一項(xiàng)，刪除兩項(xiàng)，所以對(duì)Γ數(shù)列A每操作一次，項(xiàng)數(shù)就減少一項(xiàng)，所以對(duì)n項(xiàng)的Γ數(shù)列A可進(jìn)行n-1次操作（最后只剩下一項(xiàng)）。
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知A₉中僅有一項(xiàng)，
對(duì)于滿足的實(shí)數(shù)a，b定義運(yùn)算：，
下面證明這種運(yùn)算滿足交換律和結(jié)合律。
因?yàn)?IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" border=0 src="http://thumb.1010pic.com/pic1/upload/papers/g02/20110919/201109191318357961061.gif">，且，所以，即該運(yùn)算滿足交換律；
因?yàn)?IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" border=0 src="http://thumb.1010pic.com/pic1/upload/papers/g02/20110919/201109191318358901787.gif">
且，
所以，即該運(yùn)算滿足結(jié)合律；
所以A₉中的項(xiàng)與實(shí)施的具體操作過程無關(guān)；
選擇如下操作過程求A₉：由（Ⅰ）可知；
易知；；；；
所以A₉：，0，0，0，0；
易知A₉經(jīng)過4次操作后剩下一項(xiàng)為，
綜上可知：A₉：。