Question

10．若關(guān)于x的方程|x+$\frac{1}{x}$|-|x-$\frac{1}{x}$|-kx-1=0有五個(gè)互不相等的實(shí)根，則k的取值范圍是（　�。�

• A． （-$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{4}$）
• B． （-∞，-$\frac{1}{4}$）∪（$\frac{1}{4}$，+∞）
• C． （-∞，-$\frac{1}{8}$）∪（$\frac{1}{8}$，+∞）
• D． （-$\frac{1}{8}$，0）∪（0，$\frac{1}{8}$）

Answer 1

分析 方程|x+$\frac{1}{x}$|-|x-$\frac{1}{x}$|-kx-1=0，得到|x+$\frac{1}{x}$|-|x-$\frac{1}{x}$|=kx+1，設(shè)函數(shù)f（x）=|x+$\frac{1}{x}$|-|x-$\frac{1}{x}$|，g（x）=kx+1，然后分別作出函數(shù)f（x）和g（x）的圖象，利用圖象確定k的取值范圍

解答 解：∵方程|x+$\frac{1}{x}$|-|x-$\frac{1}{x}$|-kx-1=0，
∴|x+$\frac{1}{x}$|-|x-$\frac{1}{x}$|=kx+1，
設(shè)函數(shù)f（x）=|x+$\frac{1}{x}$|-|x-$\frac{1}{x}$|，g（x）=kx+1，
則f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{2}{x}，x＜-1}\\{-2x，-1≤x≤0}\\{2x，0＜x＜1}\\{\frac{2}{x}，x≥1}\end{array}\right.$，
當(dāng)x＞1時(shí)，由直線g（x）=kx+1與f（x）=$\frac{2}{x}$相切時(shí)，得kx+1=$\frac{2}{x}$，
即kx²+x-2=0，由△=1+4×2k=0，解得k=-$\frac{1}{8}$，
當(dāng)x＜-1時(shí)，由直線g（x）=kx+1與f（x）=-$\frac{2}{x}$相切時(shí)，得kx+1=-$\frac{2}{x}$，
即kx²+x+2=0，由△=1-4×2k=0，解得k=$\frac{1}{8}$，
∴要使關(guān)于x的方程有五個(gè)互不相等的實(shí)根，
則由圖象可知-$\frac{1}{8}$＜k＜0或0＜k＜$\frac{1}{8}$，
即k的取值范圍是（-$\frac{1}{8}$，0）∪（0，$\frac{1}{8}$），
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查方程根的個(gè)數(shù)的應(yīng)用，利用方程和函數(shù)之間的關(guān)系，作出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，難度較大