Question

（2012•河西區(qū)一模）已知橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），離心率e=

2

2

，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)F₁且垂直于長(zhǎng)軸的直線交橢圓于M、N兩點(diǎn)，且|MN|=

2

．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）已知直線l與橢圓相交于P，Q兩點(diǎn)，O為原點(diǎn)，且OP⊥OQ．試探究點(diǎn)O到直線l的距離是否為定值？若是，求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由橢圓的離心率和通徑的長(zhǎng)度，結(jié)合a²=b²+c²聯(lián)立求出a，b的值，則橢圓的方程可求；
（Ⅱ）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)出直線方程的斜截式，和橢圓方程聯(lián)立后利用根與系數(shù)關(guān)系求出兩交點(diǎn)橫坐標(biāo)的和與積，從而求出縱坐標(biāo)的乘積，利用OP⊥OQ得到x₁x₂+y₁y₂=0，把坐標(biāo)乘積代入后求得m和k的關(guān)系，求出點(diǎn)O到直線l的距離，整體代入后可求得距離為定值，當(dāng)斜率不存在時(shí)，直接求解P和Q的坐標(biāo)，也能得到距離是相同的定值．

解答：解：（Ⅰ）因?yàn)?span id="ddxrzbv" class="MathJye">e=

2

2

，所以

c

a

=

2

2

    ①
因?yàn)檫^(guò)橢圓的左焦點(diǎn)F₁且垂直于長(zhǎng)軸的直線交橢圓于M、N兩點(diǎn)，且|MN|=

2

，
經(jīng)計(jì)算得

2b2

a

=

2

    ②
由a²=b²+c²，解①②得
a=

2

，b=1，c=1，
所以橢圓的方程為

x2

2

+y2=1；
（Ⅱ）1°當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，
設(shè)直線l的方程為y=kx+m，點(diǎn)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由

x2 2 +y2=1 y=kx+m

，聯(lián)立得（2k²+1）x²+4kmx+2m²-2=0
所以△=8（2k²+1-m²）＞0
x1+x2=-

4km

2k2+1

，x1x2=

2m2-2

2k2+1

，
于是y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）
=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=

m2-2k2

2k2+1

因?yàn)镺P⊥OQ，所以x₁x₂+y₁y₂=0
即

3m2-2k2-2

2k2+1

=0
所以m2=

2k2+2

3

此時(shí)△=

8(4k2+1)

3

＞0滿足條件，
設(shè)原點(diǎn)O到直線l的距離為d，
則d=

|m|

k2+1

=

2k2+2 3 k2+1

=

6

3

．
2°當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，
因?yàn)镺P⊥OQ，根據(jù)橢圓的對(duì)稱性，不妨設(shè)直線OP、OQ的方程分別為y=x，y=-x，
可得P(

6

3

，

6

3

)，Q(

6

3

，-

6

3

)或P(-

6

3

，-

6

3

)，Q(-

6

3

，

6

3

)，
此時(shí)原點(diǎn)O到直線l的距離仍為

6

3

，
綜上可得，原點(diǎn)O到直線l的距離為

6

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了直線和橢圓的位置關(guān)系，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，訓(xùn)練了利用二次方程根與系數(shù)的關(guān)系解決有關(guān)問(wèn)題，考查了學(xué)生的計(jì)算能力，是難題．