Question

直線相交于點P．直線l₁與x軸交于點P₁，過點P₁作x軸的垂線交直線l₂于點Q₁，過點Q₁作y軸的垂線交直線l₁于點P₂，過點P₂作x軸的垂線交直線l₂于點Q₂，…，這樣一直作下去，可得到一系列點P₁，Q₁，P₂，Q₂，…，點P_n（n=1，2，…）的橫坐標(biāo)構(gòu)成數(shù)列{x_n}．
（1）當(dāng)k=2時，求點P₁，P₂，P₃的坐標(biāo)并猜出點P_n的坐標(biāo)；
（2）證明數(shù)列{x_n-1}是等比數(shù)列，并求出數(shù)列{x_n}的通項公式；
（3）比較的大�。�

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)直線l₁與x軸交于點P₁，過點P₁作x軸的垂線交直線l₂于點Q₁，過點Q₁作y軸的垂線交直線l₁于點P₂，過點P₂作x軸的垂線交直線l₂于點Q₂，…，可得點P₁，P₂，P₃的坐標(biāo)，從而猜出點P_n的坐標(biāo)；
（2）確定Q_n，P_n+1的坐標(biāo)，利用P_n+1在直線l₁上，對其變形，即可證得結(jié)論；
（3）求出P的坐標(biāo)，表示出與，分類討論，即可得到結(jié)論．
解答：（1）解：由題意可，可猜得．…（4分）
（2）證明：設(shè)點P_n的坐標(biāo)是（x_n，y_n），由已知條件得點Q_n，P_n+1的坐標(biāo)分別是：．
由P_n+1在直線l₁上，得．
所以，即
所以數(shù)列{x_n-1}是首項為x₁-1，公比為的等比數(shù)列．
由題設(shè)知 ，
從而，∴．…（9分）
（3）解：由得點P的坐標(biāo)為（1，1）．
所以，．
（i）當(dāng)，即或時，＞1+9=10，
而此時，∴，
∴．
（ii）當(dāng)，∴時，＜1+9=10．
而此時，∴，
∴．…（14分）
點評：本題考查等比數(shù)列的證明，考查大小比較，考查學(xué)生分析解決問題的能力，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．