已知焦點(diǎn)在軸上的橢圓和雙曲線的離心率互為倒數(shù)，它們在第一象限交點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)直線（其中為整數(shù)）.
（1）試求橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線與橢圓交于不同兩點(diǎn)，與雙曲線交于不同兩點(diǎn)，問是否存在直線，使得向量，若存在，指出這樣的直線有多少條？若不存在，請說明理由.

（1）橢圓為： ，雙曲線為：（2）存在，滿足條件的直線共有9條.

解析試題分析：（1）將點(diǎn)代入即可求出橢圓的方程，通過橢圓的離心率求出雙曲線的離心率，聯(lián)立離心率和雙曲線的方程，求出；（2）因為直線與橢圓交于不同兩點(diǎn)，所以聯(lián)立直線和橢圓方程，消去，整理方程即可.
試題解析：（1）將點(diǎn)代入解得
∴橢圓為： ，                                       （2分）
橢圓的離心率為∴雙曲線的離心率為，              （3分）
∴，
∴雙曲線為：                                        （6分）
（2）由消去化簡整理得：
設(shè)，，則
     ①                     （8分）
由消去化簡整理得：
設(shè)，，則
     ②                     （10分）
因為，所以，
由得：．
所以或．由上式解得或．
當(dāng)時，由①和②得．因是整數(shù)，
所以的值為
當(dāng)，由①和②得．因是整數(shù)，所以．
于是滿足條件的直線共有9條．                                  （13分）
考點(diǎn)：1.求橢圓、雙曲線的方程.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的左焦點(diǎn)為，且橢圓的離心率.
(1)求橢圓的方程；
(2)設(shè)橢圓的上下頂點(diǎn)分別為,是橢圓上異于的任一點(diǎn),直線分別交軸于點(diǎn),證明:為定值,并求出該定值；
(3)在橢圓上，是否存在點(diǎn)，使得直線與圓相交于不同的兩點(diǎn)，且的面積最大？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)及對應(yīng)的的面積；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

給定橢圓： ，稱圓心在原點(diǎn)，半徑為的圓是橢圓的“準(zhǔn)圓”．若橢圓的一個焦點(diǎn)為，且其短軸上的一個端點(diǎn)到的距離為.
(Ⅰ)求橢圓的方程和其“準(zhǔn)圓”方程；
(Ⅱ)點(diǎn)是橢圓的“準(zhǔn)圓”上的一個動點(diǎn)，過動點(diǎn)作直線，使得與橢圓都只有一個交點(diǎn)，試判斷是否垂直，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓，拋物線的焦點(diǎn)均在軸上，的中心和的頂點(diǎn)均為原點(diǎn)，每條曲線上取兩個點(diǎn)，將其坐標(biāo)記錄于表中：











（1）求，的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)斜率不為0的動直線與有且只有一個公共點(diǎn)，且與的準(zhǔn)線交于，試探究：在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在定點(diǎn)，使得以為直徑的圓恒過點(diǎn)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知、是橢圓的左、右焦點(diǎn)，且離心率，點(diǎn)為橢圓上的一個動點(diǎn)，的內(nèi)切圓面積的最大值為.
(1) 求橢圓的方程；
(2) 若是橢圓上不重合的四個點(diǎn)，滿足向量與共線，與共
線，且，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，離心率，它的一個頂點(diǎn)恰好是拋物線的焦點(diǎn).
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)橢圓與曲線的交點(diǎn)為、，求面積的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

若雙曲線與橢圓有相同的焦點(diǎn)，與雙曲線有相同漸近線，求雙曲線方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，已知橢圓，是長軸的左、右端點(diǎn)，動點(diǎn)滿足，聯(lián)結(jié)，交橢圓于點(diǎn)．

（1）當(dāng)，時，設(shè)，求的值；
（2）若為常數(shù)，探究滿足的條件？并說明理由；
（3）直接寫出為常數(shù)的一個不同于（2）結(jié)論類型的幾何條件．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

在直接坐標(biāo)系中，直線的方程為，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.
（I）已知在極坐標(biāo)（與直角坐標(biāo)系取相同的長度單位，且以原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸正半軸為極軸）中，點(diǎn)的極坐標(biāo)為（4，），判斷點(diǎn)與直線的位置關(guān)系；
（II）設(shè)點(diǎn)是曲線上的一個動點(diǎn)，求它到直線的距離的最小值.

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