Question

（2011•臨沂二模）設(shè)△ABC是銳角三角形，a、b、c分別是內(nèi)角A、B、C的對邊長，向量m=（2sin（A+C），-

3

），n=（cos2B，2cos²

B

2

-1），且向量m，n共線．
（I）求角B的大��；
（II）若

BA

•

BC

=12，B=2

7

，求a，c（其中a＜c）

Answer 1

分析：（I）根據(jù)平面向量平行時滿足的坐標特點，列出三角函數(shù)關(guān)系式，利用誘導(dǎo)公式及二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式化簡，再利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系弦化切，得到tan2B的值，由三角形為銳角三角形得到B的范圍，進而求出2B的范圍，，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出B的度數(shù)；
（II）根據(jù)平面向量數(shù)量積的運算法則計算

BA

•

BC

=12的左邊得到一個等式，記作①，把B的度數(shù)代入求出ac的值，記作②，然后利用余弦定理表示出b²，把b，ac及cosB的值代入求出a²+c²的值，利用完全平方公式表示出（a+c）²，把相應(yīng)的值代入，開方求出a+c的值，由②③可知a與c為一個一元二次方程的兩個解，求出方程的解，根據(jù)c大于a，可得出a與c的值．

解答：解：（I）∵

m

∥

n

，
∴2sin（A+C）（2cos²

B

2

-1）+

3

cos2B=0，
又∵A+C=π-B，
∴2sinBcosB+

3

cos2B=0，
∴sin2B+

3

cos2B=0
∴tan2B=-

3

，
又銳角△ABC中0＜B＜

π

2

，0＜2B＜π，
∴2B=

2π

3

，∴B=

π

3

；
（II）由

BA

•

BC

=12得：accosB=12，①
又由（I）知B=

π

3

，∴ac=24，②
由余弦定理得：b²=a²+c²-2accosB，將b=2

7

及①代入得：a²+c²=52，
∴（a+c）²=a²+c²+2ac═52+2×24=100，
∴a+c=10，③
由②③知a、c是一元二次方程t²-10t+24=0的兩個根，
解此方程，并由c＞a得：a=4，c=6．

點評：此題考查了余弦定理，平面向量的數(shù)量積運算，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握公式及定理是解本題的關(guān)鍵．同時注意完全平方公式的靈活運用．