Question

已知橢圓的方程為

x2

9

+

y2

4

=1，點(diǎn)E（1，1），橢圓上是否存在兩個(gè)不重合的兩點(diǎn)M，N，使

OE

=

1

2

（

OM

+

ON

）（O是坐標(biāo)原點(diǎn)），若存在，求出直線MN的方程，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專(zhuān)題：平面向量及應(yīng)用,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由

OE

=

1

2

(

OM

+

ON

)便知E為MN的中點(diǎn)，并且容易判斷出直線MN存在斜率，所以設(shè)MN的方程為y-1=k（x-1），聯(lián)立橢圓的方程，便可得到關(guān)于x的方程：(

1

9

+

k2

4

)x2+

k(1-k)

2

x+

(1-k)2

4

-1=0，設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由韋達(dá)定理便可得到x1+x2=-

k(1-k) 2

1 9 + k2 4

=2，解出k即可．

解答： 解：由已知條件知E為MN的中點(diǎn)，并且直線MN存在斜率，設(shè)為k；
∴直線MN的方程為y-1=k（x-1），聯(lián)立橢圓方程并消去y得：
(

1

9

+

k2

4

)x2+

k(1-k)

2

x+

(1-k)2

4

-1=0；
若設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），根據(jù)韋達(dá)定理及E（1，1）為MN的中點(diǎn)得：
x1+x2=-

k(1-k) 2

1 9 + k2 4

=2，解得k=-

4

9

；
∴直線MN的方程為：y-1=-

4

9

(x-1)；
即：y=-

4

9

x+

13

9

．

點(diǎn)評(píng)：考查向量加法的平行四邊形法則，橢圓的對(duì)稱(chēng)行，直線的點(diǎn)斜式方程，以及韋達(dá)定理，中點(diǎn)坐標(biāo)公式．