Question

20．已知函數(shù)y=$lo{g}_{\frac{1}{2}}（-{x}^{2}+2x+3）$
（1）求f（x）的定義域；
（2）求f（x）的值域；
（3）求f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）由函數(shù)解析式和對數(shù)的真數(shù)大于零列出不等式，求出解集可得f（x）的定義域；
（2）由函數(shù)的定義域和二次函數(shù)的性質(zhì)求出t=-x²+2x+3f的值域，由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出（x）的值域；
（3）由二次函數(shù)的性質(zhì)求出t=-x²+2x+3的單調(diào)區(qū)間，由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求出f（x）的單調(diào)區(qū)間．

解答 解：（1）由-x²+2x+3＞0得，-1＜x＜3，
所以函數(shù)f（x）的定義域是（-1，3）；
（2）設(shè)t=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
因為-1＜x＜3，所以0＜t≤4，
則$lo{g}_{\frac{1}{2}}（-{x}^{2}+2x+3）≥$-2，
所以f（x）的值域是[-2，+∞）；
（3）由（1）可得，函數(shù)f（x）的定義域是（-1，3），
所以函數(shù)t=-x²+2x+3在（-1，1）上遞增，在（1，3）上遞減，
所以函數(shù)f（x）減區(qū)間是（-1，1）、增區(qū)間是（1，3）．

點評 本題考查對數(shù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性，二次函數(shù)的性質(zhì)，以及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．