Question

函數(shù)y=a

1-x2

+

1+x

+

1-x

（a∈R），設(shè)t=

1+x

+

1-x

（

2

≤t≤2）．
（1）試把y表示成關(guān)于t的函數(shù)m（t）；
（2）記函數(shù)m（t）的最大值為g（a），求g（a）；
（3）當a≥-

2

時，試求滿足g(a)=g(

1

a

)的所有實數(shù)a的值．

Answer 1

分析：（1）用t表示y，即y是關(guān)于t的函數(shù)m（t）；
（2）求a為參數(shù)時函數(shù)m（t）=

1

2

at2+t-a在t∈[

2

，2]上的最大值；
（3）分段討論當a≥-

2

時，對應

1

a

的取值范圍，計算滿足g(a)=g(

1

a

)的實數(shù)a的值．

解答：解：（1）∵t=

1+x

+

1-x

，
∴t²=2+2

1-x2

，∴

1-x2

=

1

2

t2-1；
∴y=m（t）=a（

1

2

t²-1）+t=

1

2

at2+t-a，t∈[

2

，2]．
（2）∵a≠0時直線t=-

1

a

是拋物線m（t）=

1

2

at2+t-a的對稱軸，
∴可分以下幾種情況進行討論：
①當a＞0時，函數(shù)y=m（t），t∈[

2

，2]的圖象是開口向上的拋物線的一段，
由t=-

1

a

＜0知m（t）在t∈[

2

，2]上單調(diào)遞增，故g（a）=m（2）=a+2；
②當a=0時，m（t）=t，t∈[

2

，2]，有g(shù)（a）=2； 
③當a＜0時，函數(shù)y=m（t），t∈[

2

，2]的圖象是開口向下的拋物線的一段，
若t=-

1

a

∈(0，

2

]即a≤-

2

2

時，g（a）=m(

2

)=

2

，
若t=-

1

a

∈(

2

，2]即a∈(-

2

2

，-

1

2

]時，g（a）=m(-

1

a

)=-a-

1

2a

，
若t=-

1

a

∈（2，+∞）即a∈(-

1

2

，0)時，g（a）=m（2）=a+2．
綜上所述，有g(shù)（a）=

a+2   (a＞- 1 2 ) -a- 1 2a ， (- 2 2 ＜a≤- 1 2 ) 2   (a≤- 2 2 )

．
（3）①當-

2

≤a≤-

2

2

時，-

2

≤

1

a

≤-

2

2

，此時g（a）=g（

1

a

）=

2

，∴-

2

≤a≤-

2

2

；
②當-

2

2

＜a≤-

1

2

時，-2≤

1

a

＜-

2

，此時g（a）=-a-

1

2a

，g（

1

a

）=

2

，
由-a-

1

2a

=

2

得a=-

2

2

，與a＞-

2

2

矛盾，舍去；
③當-

1

2

＜a＜0時，

1

a

＜-2，此時g（a）=a+2，g（

1

a

）=

2

，
由a+2=

2

得a=

2

-2，與a＞-

1

2

矛盾，舍去； 
④當a＞0時，

1

a

＞0，此時g（a）=a+2，g（

1

a

）=

1

a

+2，
由a+2=

1

a

+2得a=±1，又∵a＞0，∴a=1；
綜上所述，滿足g(a)=g(

1

a

)的所有實數(shù)a為：-

2

≤a≤-

2

2

或a=1．

點評：本題考查了函數(shù)及其性質(zhì)的綜合應用，用分類討論法求函數(shù)最值的知識，是容易出錯的題目．