Question

如圖，A、B是兩圓的交點(diǎn)，AC是小圓的直徑，D和E分別是CA和CB的延長(zhǎng)線與大圓的交點(diǎn)，已知AC=4，BE=10，且BC=AD，求DE的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】分析：設(shè)CB=AD=x，由圓的割線定理列出關(guān)于x的方程，求出x的值即得到CD和CE的值，又因?yàn)锳C為小圓的直徑，則所對(duì)的圓周角∠CBA等于90°即∠ABE等于90°，然后根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)得到∠D也等于90°，所以在直角三角形CDE中，利用勾股定理即可求出DE的長(zhǎng)．
解答：解：設(shè)CB=AD=x，則由割線定理，得CA•CD=CB•CE，
即4（4+x）=x（x+10），化簡(jiǎn)得x²+6x-16=0，解得x=2或x=-8（舍去），即CD=6，CE=12，
因?yàn)镃A為直徑，所以∠CBA=90°，即∠ABE=90°，
則由圓的內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，得∠D=90°，
則CD²+DE²=CE²，
∴6²+DE²=12²，
∴DE=6．
點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用圓的內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)及直徑所對(duì)的圓周角為直角的性質(zhì)，靈活運(yùn)用圓的割線定理化簡(jiǎn)求值，是一道中檔題．