Question

已知函數(shù).

(1)若的定義域和值域均是，求實(shí)數(shù)的值；

(2)若在區(qū)間上是減函數(shù)，且對(duì)任意的，，總有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

 

Answer 1

（1）；（2）的取值范圍是.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)條件，可知為二次函數(shù)，其對(duì)稱(chēng)軸為，因此在上是減函數(shù)，故根據(jù)條件的定義域和值域均是，可列出關(guān)于的方程組，將具體的表達(dá)式代入，即可求得；（2）首先根據(jù)條件可知，再由問(wèn)題的描述，可將問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化為求使對(duì)任意的，，總有成立的的取值范圍，又由條件，二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸，且左右端點(diǎn)對(duì)于對(duì)稱(chēng)軸的偏離距離，故有，，因此可以建立關(guān)于的不等式，從而求得的取值范圍是.

試題解析：（1）∵,∴在上是減函數(shù) 2分，

又定義域和值域均為，∴， 4分

即，解得. 5分；

（2）∵在區(qū)間上是減函數(shù)，∴， 7分

又，且，

∴，. 10分

∵對(duì)任意的，，總有，

∴, 12分

即 ,解得 ，

又∵，∴，的取值范圍是.

考點(diǎn)：1.二次函數(shù)的值域；2.二次函數(shù)與恒成立問(wèn)題.