Question

底面邊長(zhǎng)為a正四棱錐S-ABCD內(nèi)接于球O，過(guò)球心O的一個(gè)截面如圖，則球O的表面積為

2πa²

；A、B的球面距離為

2

4

aπ

．

Answer 1

分析：由題意可知正四棱錐的底面對(duì)角線(xiàn)就是球的直徑，求出底面對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)，即可求出球的半徑，然后求出球的表面積．直接求扇形OAB的弧長(zhǎng)，就是A、B兩點(diǎn)間的球面距離．

解答：解：根據(jù)正四棱錐S-ABCD內(nèi)接于球O，過(guò)球心O的一個(gè)截面如圖，
可知正四棱錐S-ABCD的底面對(duì)角線(xiàn)AC經(jīng)過(guò)球心，對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)等于球的直徑，
∵棱錐的底面邊長(zhǎng)為a，
∴底面對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為：

2

a，球的半徑為：

2

2

a，
∴球的表面積為：4π(

2 a

2

)2=2πa²，
由題意可知A、B兩點(diǎn)間的球面距離：就是扇形OAB的劣弧的長(zhǎng)，
且球心角∠AOB=

π

2

，
∴A、B兩點(diǎn)間的球面距離：

2

2

a×

π

2

=

2

4

aπ．
故答案為：2πa²．

2

4

aπ

點(diǎn)評(píng)：本題考查球的內(nèi)接多面體，球的表面積，球面距離、球面距離及相關(guān)計(jì)算，考查空間想象力，是基礎(chǔ)題．本題的突破口在正確處理截面圖形，明確球的直徑就是棱錐的底面對(duì)角線(xiàn)．