Question

（2012•開封一模）已知函數(shù)h（x）=ln（ax+b）在點(diǎn)M（1，h（1））處的切線方程為x-2y+ln4-1=0．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）若f（x）=[h(x)]2-

x2

1+x

，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：（I）先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，然后由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知

a

a+b

=

1

2

，h（1）=ln（a+b）=ln2，代入可求a，b
（II）先求函數(shù)的定義域?yàn)椋?1，+∞），f（x）=[h(x)]2-

x2

1+x

=ln2(1+x)-

x2

1+x

，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)可得f′(x)=

2ln(1+x)

1+x

-

x2+2x

(1+x)2

=

2(1+x)ln(1+x)-x2-2x

(1+x)2

，構(gòu)造函數(shù)g（x）=2（1+x）ln（1+x）-2x-x²，二次求導(dǎo)，通過導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)g（x）的單調(diào)性，進(jìn)而可得當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，g（x）＞g（0）=0，當(dāng)x＞0時(shí)，g（x）＜g（0）=0，從而可判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間

解答：解（I）∵h(yuǎn)（x）=ln（ax+b）
∴h′(x)=

a

ax+b

∵在點(diǎn)M（1，h（1））處的切線方程為x-2y+ln4-1=0
∴

a

a+b

=

1

2

∵h(yuǎn)（1）=ln2即ln（a+b）=ln2
∴a=b=1（4分）
（II）函數(shù)的定義域?yàn)椋?1，+∞），f（x）=[h(x)]2-

x2

1+x

=ln2(1+x)-

x2

1+x

∴f′(x)=

2ln(1+x)

1+x

-

x2+2x

(1+x)2

=

2(1+x)ln(1+x)-x2-2x

(1+x)2

設(shè)g（x）=2（1+x）ln（1+x）-2x-x²，則g′（x）=2ln（1+x）-2x
令φ（x）=2ln（1+x）-2x，則φ′(x)=

2

1+x

-2=

-2x

1+x

當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，φ′（x）＞0，φ（x）在（-1，0）上單調(diào)遞增
當(dāng)x＞0時(shí)，φ′（x）＜0，，φ（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減
∴，φ（x）在x=0處取得極大值，而，φ（0）=3，
∴g′（x）＜0（x≠0）
∴g（x）在（-1，+∞）上單調(diào)遞減
于是當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，g（x）＞g（0）=0，當(dāng)x＞0時(shí)，g（x）＜g（0）=0
∴當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在（-1，0）上單調(diào)遞增
當(dāng)x＞0時(shí)，f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減
故函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間（-1，0），單調(diào)遞減區(qū)間為（0，+∞）（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考察了導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，及利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，注意本題中利用構(gòu)造函數(shù)二次求導(dǎo)方法的應(yīng)用．