Question

一條直線l交拋物線y²=2px（p＞0）于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點(diǎn)．
（1）直線l過拋物線的焦點(diǎn)，求證：y₁•y₂=-p²；
（2）滿足y₁•y₂=-p²，求證：直線l過拋物線的焦點(diǎn)．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）根據(jù)直線過焦點(diǎn)，寫出直線的方程，根據(jù)根和系數(shù)的關(guān)系得到結(jié)果，
（2）已知中y₁•y₂=-p²，求出過A，B兩點(diǎn)的方程，進(jìn)而可證得直線l所過定點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)．

解答： 證明：經(jīng)過拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)直線交拋物線于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩不同點(diǎn)，
拋物線y²=2px的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（

p

2

，0）
設(shè)直線為x-

p

2

=ky，即x=ky+

p

2

，
代入拋物線y²=2px得：
y²=2p（ky+

p

2

），即y²-2pky-p²，
由韋達(dá)定理得：y₁•y₂=-p²；
（2）若直線l與x軸平行或重合，此時(shí)直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，不滿足要求；
故直線l與x軸必相交，設(shè)直線l與x軸交于（a，0）點(diǎn)，
設(shè)直線為x-a=ky，即x=ky+a，
代入拋物線y²=2px得：
y²=2p（ky+a），即y²-2pky-2pa，
由韋達(dá)定理得：y₁•y₂=-2pa，
∴-2pa=-p²；
解得：a=

p

2

，
即直線l過拋物線的焦點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與拋物線之間的關(guān)系，利用方程聯(lián)立得到方程，根據(jù)根和系數(shù)的關(guān)系得到結(jié)論．