Question

數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)都是正數(shù)，前n項(xiàng)和為S_n，且對(duì)任意n∈N₊，都有a

3 1

+a

3 2

+a

3 3

+…+a

3 n

=S

2 n

．
（1）求證：a

2 n

=2S_n-a_n；     
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列的函數(shù)特性

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）當(dāng)n=1時(shí)，

a

3 1

=

a

2 1

，可得a₁=1．當(dāng)n≥2時(shí)，a

3 1

+a

3 2

+a

3 3

+…+a

3 n

=S

2 n

． 

a

2 1

+

a

2 2

+…+

a

2 n-1

=

S

2 n-1

  兩式相減即可得出．
（2）利用（1）和等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．

解答： 證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，

a

3 1

=

a

2 1

，
∵a₁＞0，∴a₁=1．
當(dāng)n≥2時(shí)，a

3 1

+a

3 2

+a

3 3

+…+a

3 n

=S

2 n

．  ①

a

2 1

+

a

2 2

+…+

a

2 n-1

=

S

2 n-1

  ②
①-②得，

a

3 n

=an(2a1+2a2+…+2an-1+an)，
∵a_n＞0，
∴

a

2 n

=2a1+2a2+…+2an-1+an，
即

a

2 n

=2Sn-an，
∵a₁=1適合上式，
∴

a

2 n

=2Sn-an，（n∈N^*）．
（2）由（I）知

a

2 n

=2Sn-an，
當(dāng)n≥2時(shí)，

a

2 n-1

=2Sn-1-an-1．
兩式相減得

a

2 n

-

a

2 n-1

=2（S_n-S_n-1）-a_n+a_n-1=a_n+a_n-1，
∵a_n+a_n-1＞0，∴a_n-a_n-1=1，
∴數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，首項(xiàng)為1，公差為1，
∴a_n=1+（n-1）×1=n．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了“當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁；當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1”求通項(xiàng)公式a_n、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，屬于難題．