Question

已知點(diǎn)F是橢圓

x2

1+a2

+y2=1（a＞0）的右焦點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)F的距離等于到直線x=-a的距離．
（1）求點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)F任作一直線與點(diǎn)P的軌跡交于A、B兩點(diǎn)，直線OA、OB與直線x=-a分別交于點(diǎn)S、T（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），試判斷

FS

•

FT

是否為定值？若是，求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專(zhuān)題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（1）由已和條件推導(dǎo)出點(diǎn)P的軌跡C是以點(diǎn)F為焦點(diǎn)、直線x=-a為準(zhǔn)線的拋物線，由此能求出C的方程．
（2）設(shè)直線AB的方程為x=ty+a，A(

y12

4a

， y1)、B(

y22

4a

， y2)，由已知條件推導(dǎo)出

FS

•

FT

=4a2+

16a4

y1y2

．由

x=ty+a y2=4ax

，得y²-4aty-4a²=0，由此能求出

FS

•

FT

的值是定值0．

解答： 解：（1）∵橢圓

x2

1+a2

+y2=1右焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為（a，0），…（1分）
由拋物線定義知，
點(diǎn)P的軌跡C是以點(diǎn)F為焦點(diǎn)、直線x=-a為準(zhǔn)線的拋物線，…（3分）
∴C的方程為y²=4ax．…（5分）
（2）設(shè)直線AB的方程為x=ty+a，A(

y12

4a

， y1)、B(

y22

4a

， y2)，
則lOA：y=

4a

y1

x，lOB：y=

4a

y2

x．…（6分）
由

y= 4a y1 x x=-a

，得S(-a， -

4a2

y1

)，
同理得T(-a， -

4a2

y2

)．…（8分）
∴

FS

=(-2a， -

4a2

y1

)，

FT

=(-2a， -

4a2

y2

)，
則

FS

•

FT

=4a2+

16a4

y1y2

．…（9分）
由

x=ty+a y2=4ax

，得y²-4aty-4a²=0，∴y1y2=-4a2．…（11分）
則

FS

•

FT

=4a2+

16a4

(-4a2)

=4a2-4a2=0．…（13分）
∴

FS

•

FT

的值是定值，且定值為0．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查點(diǎn)的軌跡方程的求法，考查向量的數(shù)量積是否為定值的判斷與求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意拋物線與直線的位置關(guān)系的靈活運(yùn)用．